關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題參數(shù)討論的探究

梁宏暉

[摘? 要] 分類(lèi)討論參數(shù)取值可以簡(jiǎn)化求解含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，參數(shù)討論過(guò)程中可明確參數(shù)影響，確保結(jié)論準(zhǔn)確. 文章將對(duì)分類(lèi)討論方法進(jìn)行剖析，結(jié)合實(shí)例深入探究參數(shù)討論解題的使用技巧，并開(kāi)展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);參數(shù);分類(lèi)討論;單調(diào)性;極值;最值

■方法綜述

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考考查的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問(wèn)題，該類(lèi)問(wèn)題中往往含有一些變量或者參數(shù)，而變量或參數(shù)的取值會(huì)影響問(wèn)題的結(jié)果. 在實(shí)際解題時(shí)常需要采用分類(lèi)討論的策略，通過(guò)分類(lèi)討論來(lái)細(xì)化問(wèn)題，降低思維難度，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的. 分類(lèi)討論的基本原則為不重不漏，即統(tǒng)一分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，逐條討論，確保討論過(guò)程不重復(fù)、無(wú)缺漏.

實(shí)際上函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的分類(lèi)討論策略滲透著數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想，實(shí)則就是一種將問(wèn)題對(duì)象按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)、逐類(lèi)研究討論的方法. 按照該思想方法解題時(shí)需要按照“設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)→逐個(gè)討論→整合結(jié)論”的思路，即首先結(jié)合問(wèn)題設(shè)定統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn);然后對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行深入討論，并得出相應(yīng)的結(jié)論;最后對(duì)各類(lèi)別的結(jié)論進(jìn)行整合，得出最終結(jié)果.

利用分類(lèi)討論方法可以高效解析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中因變量或參數(shù)引起的變化，常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型有含參單調(diào)性問(wèn)題、含參函數(shù)極值問(wèn)題、含參函數(shù)最值問(wèn)題. 探討函數(shù)問(wèn)題中變量與參數(shù)的分類(lèi)討論策略，有必要對(duì)上述三大型問(wèn)題進(jìn)行探究.

■實(shí)例探討

分析單調(diào)性，求解函數(shù)極值、最值是含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)形式，利用分類(lèi)討論求解時(shí)除了需要嚴(yán)格遵守分類(lèi)討論的思想內(nèi)涵、使用技巧外，還需要結(jié)合問(wèn)題特點(diǎn)，設(shè)問(wèn)形式，下面具體探究.

1. 函數(shù)單調(diào)性中的參數(shù)討論

例1：已知函數(shù)f（x）=ex-lnx，定義在（0，+∞）上的函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=（ex-a）（lnx-a），其中a∈R.

（1）試求證f（x）>0;

（2）試求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間.

解析：本題目所涉函數(shù)f（x）為一般的組合函數(shù)，可確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明f（x）;函數(shù)g（x）中含有參數(shù)a，參數(shù)的大小與符號(hào)會(huì)影響到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解析時(shí)需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論.

（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)00，lnx≤0，所以f（x）=ex-lnx>0;當(dāng)x>1時(shí)，ex>1，■<1，而f′（x）=ex-■>0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>1時(shí)，始終有f（x）>f（1）=e>0，即f（x）>0，得證.

（2）g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=（ex-a）·（lnx-a），a的大小將影響g′（x）的符號(hào).

如果a≤1，則當(dāng)x>0時(shí)有ex-a>0，由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）>0可得lnx-a>0，即x>ea，所以函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ea，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，ea）;

如果a>1，則lna>0，結(jié)合（1）問(wèn)可知f（a）=ea-lna>0，則ea>lna，所以由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）>0可得0ea，而由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）<0可解得lna

方法指導(dǎo)：利用分類(lèi)討論解析含參函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是要討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需要在函數(shù)的定義域內(nèi)，二是分析參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否有影響，可依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行討論，解析時(shí)合理利用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算技巧.

2. 函數(shù)極值中的參數(shù)討論

例2：已知函數(shù)f（x）=-lnx-ax2+x（a≥0），討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析：f（x）為含參函數(shù)，需要討論參數(shù)a對(duì)導(dǎo)函數(shù)f′（x）的存在、零點(diǎn)的大小和零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)的影響.

由原函數(shù)可知f′（x）=-■-2ax+1（x>0），整理可得f′（x）=■（x>0，a≥0），當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=■，分析可知x∈（0，1）時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值.

當(dāng)a≥■時(shí)，Δ≤0，則f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故此時(shí)f（x）不存在極值.

當(dāng)00，方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的根，設(shè)為x■和x■，可解得x■=■，x■=■. 分析可知當(dāng)x∈0，■，x∈■，+∞時(shí)，f′（x）<0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈■，■時(shí)，f′（x）>0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增;所以f（x）在x=x■處取得極小值，在x=x■處取得極大值.

綜上可知，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）有1個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)a≥■時(shí)，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn);當(dāng)0

方法指導(dǎo)：對(duì)于含參函數(shù)f（x）求極值問(wèn)題，需要采用分類(lèi)討論的策略，參數(shù)討論可以從如下三點(diǎn)切入：討論參數(shù)是否會(huì)影響f′（x）零點(diǎn)的存在;討論參數(shù)是否影響f′（x）零點(diǎn)的大小;討論參數(shù)是否影響f′（x）零點(diǎn)左、右兩側(cè)的符號(hào). 另外在研究含參函數(shù)極值問(wèn)題時(shí)需要注意可導(dǎo)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x■處取得極值的充要條件，根據(jù)條件來(lái)展開(kāi)分析.

3. 函數(shù)最值中的參數(shù)討論

例3：一酒企為了擴(kuò)大生產(chǎn)，現(xiàn)決定新建一個(gè)底面為長(zhǎng)方形MNPQ的室內(nèi)發(fā)酵館，在發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形的發(fā)酵池（圖1中的長(zhǎng)方形ABCD），其中AD≥AB. 根據(jù)現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定新建的發(fā)酵池容積為450m3，深2米. 如果池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，要求發(fā)酵池的總造價(jià)不超過(guò)65400元，回答下列問(wèn)題.

（1）試求發(fā)酵池邊長(zhǎng)AD的取值范圍;

（2）若建發(fā)酵館時(shí)要求發(fā)酵池的四周需分別預(yù)留兩條寬4米和b米（b為常數(shù)）的走道，試分析應(yīng)如何設(shè)計(jì)發(fā)酵池的邊長(zhǎng)可使發(fā)酵館的占地面積最小.

解析：本題目為應(yīng)用分析題，需要結(jié)合模型來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的解析函數(shù)，然后利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定結(jié)論，第（2）問(wèn)可建立關(guān)于AD長(zhǎng)的面積函數(shù)，其中必然含有參數(shù)b，求面積的最小值，顯然需要對(duì)參數(shù)b進(jìn)行討論.

（1）根據(jù)題意可知矩形ABCD的面積為S=■=225m2，設(shè)AD長(zhǎng)為x，則AB=■，由題意可知x≥■>0，從而可解得x≥15.

設(shè)建造發(fā)酵池的總費(fèi)用為f（x），則f（x）=600（x+■）+45000≤65400，可解得9≤x≤25.

綜上可知，x的取值為x∈[15，25]，即AD的取值范圍為不小于15米，并且不超過(guò)25米.

（2）設(shè)發(fā)酵館的占地面積為S（x），由（1）問(wèn)可知S（x）=2bx+■+16b+225，x∈[15，25]，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)S（x）在定義域[15，25]上的最小值，函數(shù)中同時(shí)含有參數(shù)b，需要對(duì)其加以討論.

由S（x）可得導(dǎo)函數(shù)S′（x）=■.

①當(dāng)b≥4時(shí)，S′（x）≥0，則S（x）在區(qū)間[15，25]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=15時(shí)S（x）取得最小值，即AD=15米時(shí)發(fā)酵館的占地面積最小.

②當(dāng)0

③當(dāng)b∈■，4時(shí)，x∈15，■時(shí)，S′（x）<0，則S（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈■，25時(shí)，S′（x）>0，則S（x）單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=■=■時(shí)，S（x）取得最小值，即AD=■米時(shí)發(fā)酵館的占地面積最小.

方法指導(dǎo)：對(duì)于函數(shù)應(yīng)用型問(wèn)題，求解的關(guān)鍵有兩步：一是建模，二是解析. 上述是關(guān)于幾何面積的函數(shù)問(wèn)題，第（1）問(wèn)實(shí)則就是函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，利用求導(dǎo)來(lái)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，然后確定參數(shù)的取值;第（2）問(wèn)通過(guò)建模后問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析含參函數(shù)的最小值，需要討論參數(shù)的取值，而在討論過(guò)程中需要分層推進(jìn)，第一層求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），第二層分析參數(shù)對(duì)方程f′（x）=0的影響;第三層則需要確定參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)f′（x）的影響，確定原函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求解最值. 上述思路不僅適用于一般的含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，同樣適用于與生活實(shí)際聯(lián)系緊密的函數(shù)應(yīng)用題.

■解后反思

分類(lèi)討論是求解含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用策略，通過(guò)合理地討論參數(shù)的取值，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，在實(shí)際教學(xué)中提出以下兩點(diǎn)建議.

1. 理解思想內(nèi)涵，方法辨析思考

分類(lèi)討論思想是高中階段需要重點(diǎn)掌握的思想方法，在含參函數(shù)問(wèn)題教學(xué)中需首先引導(dǎo)學(xué)生理解該思想的具體含義，明晰使用步驟. 實(shí)際上該思想就是拆分綜合問(wèn)題的一種技巧，可將復(fù)合問(wèn)題化為眾多的小問(wèn)題. 同時(shí)可應(yīng)采用辨析思考的方式進(jìn)行教學(xué)推進(jìn)，以含參函數(shù)問(wèn)題為例，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按照“辨析分類(lèi)緣由→思考分類(lèi)依據(jù)→思考減少分類(lèi)”，即首先明確參數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值情形造成的影響，然后結(jié)合參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在性、零點(diǎn)大小的影響等因素來(lái)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)思考是否可以減少分類(lèi)項(xiàng)，優(yōu)化解題過(guò)程.

2. 總結(jié)問(wèn)題類(lèi)型，積累解題經(jīng)驗(yàn)

上述呈現(xiàn)了含參函數(shù)的三大常見(jiàn)問(wèn)題類(lèi)型，涉及求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等，從中可知討論參數(shù)的取值將直接影響到解題的效果. 同時(shí)對(duì)于不同類(lèi)型問(wèn)題，參數(shù)討論、思路構(gòu)建過(guò)程存在較大差異，但總體而言均需要經(jīng)歷“求導(dǎo)函數(shù)”“確定單調(diào)性”兩個(gè)環(huán)節(jié). 因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要理解問(wèn)題本質(zhì)，歸納類(lèi)型問(wèn)題的解題步驟，總結(jié)參數(shù)討論的注意點(diǎn)，積累問(wèn)題思路構(gòu)建的經(jīng)驗(yàn). 在實(shí)際教學(xué)中可以參考上述結(jié)合具體實(shí)例的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考，指導(dǎo)分類(lèi)討論的方法，幫助學(xué)生形成相應(yīng)的解題策略，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.