把握本質 通透解題 提升素養

閆偉 吳銀軍

[摘? 要] 文章對一道解析幾何?？荚囶}展開解法探究，探尋命題理念，并對試題結論進行深層次拓展，以此指導高三復習備考，實現高效復習，提升學生數學核心素養.

[關鍵詞] 解析幾何;探究;提升素養

圓錐曲線與直線的位置關系一直是高考的熱點和難點，在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結論（如定值、定角問題），這些結論看似特殊，實則都具普遍性，而且往往具有豐富的命題背景和深厚的內涵，研究此類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質，還能透過試題挖掘隱含的命題規律，更能將其拓展到一般情況，從而提升學生數學思維，發展數學核心素養. 下面以一道解析幾何模考題為例進行說明.

■試題呈現與分析

已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F■，F■，上頂點為B，△BF■F■的面積為■，C上的點到右焦點的最大距離為3，（1）求橢圓C的標準方程;（2）設C的左、右頂點分別為A■，A■，過A■，A■分別作x軸的垂線l■，l■，直線l：y=kx+m（k≠0）與C相切，且l與l■，l■分別交于P，Q兩點，求證：∠PF■Q=∠PF■Q.

試題分析：試題背景平和，給人一種“題在考卷，根在書內”的感覺;從知識層面看，主要考查橢圓的標準方程、幾何性質、焦點三角形的面積、直線與橢圓的綜合問題，以及動態直線定值（定角）等知識;從能力層面看主要考查學生運算求解、思考探究、邏輯推理等方面的能力，突出考查數學運算、邏輯推理、數學抽象等素養;試題的思維過程和運算過程體現了能力立意的命題思想，較好地體現了對直線與圓錐曲線的核心內容和基本思想方法的考查，亦較好地檢測考生的數學素養和學習潛能.

■解法探究

（1）橢圓C的標準方程為■+■=1，過程從略.

（2）解法1：聯立■+■=1，y=kx+m，化簡整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0.因為直線l與橢圓相切，所以Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=4k2+3. 由題意可知l■：x=-2，l■：x=2，所以P（-2，-2k+m），Q（2，2k+m）. 因為F■（-1，0），F■（1，0），所以■=（-1，-2k+m），■=（3，2k+m），■=（-3，-2k+m），■=（1，2k+m），于是■·■=■·■=-3+m2-4k2=0，從而■⊥■，■⊥■，即∠PF■Q=∠PF■Q=■.

評注：解法1是比較自然的解法，先聯立直線與橢圓，再利用相切條件建立參數m，k的關系式，然后利用向量數量積求得特殊角，解題思路較為常規，計算相對復雜，對學生的運算和推理論證能力要求較高.

解法2：聯立■+■=1，y=kx+m，化簡整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，因為直線l與橢圓相切，所以Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=4k2+3. 由題意可知l■：x=-2，l■：x=2，所以P（-2，-2k+m），Q（2，2k+m）.設以PQ為直徑的圓的圓心為M，易知M坐標為（0，m），于是x2+（y-m）2=■=4+4k2. 又因為m2=4k2+3，從而x2+（y-m）2=1+m2，當y=0時，得x=±1，即F■（-1，0），F■（1，0）在圓M上，故∠PF■Q=∠PF■Q=■.

評注：注意到所證的定角是直角，先刻畫出以PQ為直徑的圓的方程，再驗證兩焦點在圓上;解法2巧妙地借助圓周角來解決，促進了知識之間的融通和遷移，提升了學生的思維和問題解決的能力.

解法3：設直線l與橢圓相切的切點坐標為（2cosθ，■sinθ），則直線l的方程可設為■x+■y=1，從而P-2，■，Q2，■. 因為F■（-1，0），F■（1，0），所以■=-1，■，■=3，■，■=-3，■，■=1，■，于是■·■=■·■=-3+■·■=0，所以∠PF■Q=∠PF■Q=■.

評注：本解法借助橢圓的參數方程設切點坐標，利用切點表示切線方程，然后求得P，Q兩點坐標，通過坐標運算得出定角為直角，相比較解法1，都是利用向量積解決，但是本題利用橢圓的參數方程有效地避開聯立方程帶來的復雜運算，達到化繁為簡的效果.

解法4：設直線l與橢圓相切的切點坐標為（2cosθ，■sinθ），于是直線l的方程為■x+■y=1，從而P-2，■，Q2，■，A■P·A■Q=■·■=3，A■F■·A■F■=（a-c）（a+c）=b2=3，所以A■P·A■Q=A■F■·A■F■，即■=■.

又因為∠PA■F■=∠QA■F■=■，所以△PA■F■∽△F■A■Q，于是∠A■PF■=∠A■F■Q，所以∠A■F■P+∠A■F■Q=∠A■F■P+∠A■PF■=■，故∠PF■Q=■，同理∠PF■Q=■，于是∠PF■Q=∠PF■Q.

評注：解法4先借助橢圓的參數方程設切點坐標來表示切線方程，求得P，Q兩點坐標，進而計算相關的線段長度，接著通過由兩個三角形相似證明兩角相等，巧妙借助平面幾何性質解題，需要學生有較好的讀圖、識圖能力.

對于證明定值、定角（如本題中90°）問題，通常的做法是可以通過一條特殊直線算出這個角是90°，然后利用以下的方法證明：PF■⊥QF■？圳k■·k■=-1？圳■·■=0？圳F■在以PQ為直徑的圓上. 相比較而言解法3通過橢圓的參數方程表示點的坐標，利用向量來證明所求角為直角，巧妙地避開繁雜的運算，在今后解決類似問題中值得推廣.

■推廣結論

一道好的試題的研究價值不應僅僅停留在解法上，還應該對試題本身做深入的探究，挖掘深層次的內涵，揭示數學本質;通過上述解法探究，我們發現試題中直角只是一個特例，還可以將結論拓展到更一般的情形：

結論1：如圖2，橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A■，A■，過A■，A■分別作x軸的垂線l■，l■，直線l與橢圓C相切于M點，且與l■，l■分別交于P，Q兩點，點N（n，0）（n≠±a）為長軸A■A■上一定點，則有（1）k■·k■=■;（2）A■P·A■Q=b2.

證明：（1）設切點M坐標為（acosθ，bsinθ），則切線l的方程為■x+■y=1，從而有P-a，■，Qa，■，于是k■·k■=■·■=■.

（2）A■P·A■Q=■·■=b2.

當N點為橢圓焦點時，k■·k■=■=-1，則F■P⊥F■Q，F■P⊥F■Q，即上述考題的結論.

由于橢圓和雙曲線都是有心二次曲線，橫向類比可得以下結論：

結論2：雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右頂點分別為A■，A■，過A■，A■分別作x軸的垂線l■，l■，直線l與C相切于M點，且與l■，l■分別交于P，Q兩點，點N（n，0）（n≠±a）為實軸A■A■上一定點，則有（1）k■·k■=-■;（2）A■P·A■Q=b■.

？搖由于拋物線y2=2px（p>0）是無心二次曲線，通過探究可得到以下結論：

結論3：如圖3，直線l與拋物線y2=2px（p>0）相切于點M，與y軸交于P點，N（n，0）為x軸上一點，則k■·k■=-■.

證明：設切點M坐標為（x■，y■），則切線l的方程為yy■=p（x■+x），于是P0，■，則k■·k■=■·■=-■= -■=-■. 當N點為拋物線焦點時，k■·k■=-■=-1，則NP⊥MP.

■探本溯源

上述結論從橢圓到雙曲線再到拋物線進行了一般化探究;那么為什么會有這些結論呢？我們知道橢圓和圓有著緊密的聯系，它們有很多相似的性質，該結論的探究源于圓的一條經典性質：

結論4：如圖4，A■A■是⊙O：x2+y2=r2的直徑，過A■，A■分別作x軸的垂線l■，l■，直線l與⊙O相切于M點，且與l■，l■分別交于P，Q兩點，點N（n，0）（n≠±r）為直線A■A■上一定點，則有（1）k■·k■=■;（2）OP⊥OQ;（3）A■P·A■Q=r2.

證明：（1）設切點M坐標為（rcosθ，rsinθ），則切線l的方程為cosθ·x+sinθ·y=r，從而有P-r，■，Qr，■，于是k■·k■=■·■=■.

（2）由（1）可知當N為坐標原點時，k■·k■=■=-1，即OP⊥OQ.

（3）A■P·A■Q=■·■=r2.

■拓展應用

例：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0），設直線l：x=ty+λ是橢圓的一條切線，兩點M（-2，y■），M（2，y■）在切線l上. （1）若P■（1，1），P■（0，1），P■-1，■，P■1，■恰有三點在橢圓C上，求橢圓的標準方程;（2）在（1）的條件下，證明：當t，λ變化時，以MN為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標.

解：（1）橢圓的方程為■+y2=1;（2）由上述結論易知以MN為直徑的圓恒過橢圓的兩焦點（±■，0）.

■教學思考

數學家波利亞曾說過：“掌握數學就意味著善于解題”. 引導學生學會解題是數學新課標中教學的重要組成部分;數學問題的解決僅僅是一個開端，更重要的是解題后的反思與回顧;遇到一道經典題目，需要從多角度、深層次探求其解法，從不同的思維角度分析同一道試題，可以得到不同的解法，從數學知識本身的角度看，可以發現知識之間的相互聯系，體會轉化的過程，還可以構建知識網絡體系，從而學生在學習過程中不僅掌握了基本的解題技能，還培養了思維的深刻性、靈活性及創新性，讓學生對學習內容有一個整體認識，并將知識融會貫通，舉一反三，活躍思維，學生的能力素養在潛移默化中得到提升.

復習備考中我們也經常聽到不同的聲音：高三課堂上搞一題多解，會不會耽誤學生的復習進度，有些解法需要講嗎？需要給學生講解一般化探究嗎？這些質疑不無道理，如果我們拋開學生展示解法，孤芳自賞，這樣的課堂效果可見一斑;雖說不是所有的題目都適合一題多解，也并非所有的學生都適合一題多解，但是最根本的要因材施教，以學定教，多關注學生的表現和感受，講解時應充分關注學情. 不同時期，不同學生，我們所講授的側重點應有所區別，比如在高三二輪復習備考中，學生通過一輪復習已經掌握解題的通性通法，我們應盡可能多地傳遞解題思路、滲透思想方法、揭示問題本質.讓我們的課堂多一點理性的思考，少一些套路的模仿，引導學生多視角審視各種新問題，啟發學生思考，把握數學問題的本質，從而更好地促進學生數學素養的提升.