關于函數最值問題的理論探討與解法示例

李彬彬

[摘? 要] 函數最值問題可以全面考查學生的能力，以該類問題為基礎開展教學探討，引導學生掌握解法對于提升學生能力、發展核心素養極為有利. 文章剖析函數最值問題，探討理論基礎，舉例探析常用解法.

[關鍵詞] 函數;最值;理論;方法;建議

■問題綜述

函數最值問題是數學的一類典型問題，涉及眾多數學知識，與生產實際也息息相關. 函數是問題的靈魂所在，其中的最值則是函數的一種重要屬性，問題突破需要從函數的性質角度出發來探究，對學生基礎知識和數學思維有著一定的要求. 同時該類問題的求解過程需要利用一些思想方法，利用數學思想來構建解題思路，因此解題過程可視為是基礎知識、解題方法和數學思想的綜合.

分析函數最值問題類型，總體上有以下兩個特點：（1）問題的呈現形式主要有三種命題形式，①直接給出函數，求該函數的最值;②在解答問題中作為子問題，需要給出解析過程;③以隱含問題構建，如不等式、存在性問題、幾何應用題優化等，解析時需要將其轉化為最值問題. （2）問題的變量多變，單一變量較為簡單，多變量函數最值問題，雖形式簡單，但難以找到突破口，需要進行化歸轉化.

■突破理論

函數最值問題較為典型，對學生的解析思維有著一定的要求，提升學生問題解析能力需要從三方面入手：（1）深入理解最值概念，從不等式角度加以剖析，把握其中的兩個要素，①不等式與函數最值的關聯，關注不等式恒成立中的定義域;②關注不等式成立時等號的選取. （2）透視復雜函數，歸納多變量函數最值問題，提升學生發現問題、解析問題的能力. （3）函數最值的概念與其他知識有著緊密的關聯，綜合性和應用性較強，應強化學生的應用意識和轉化意識，深入培養學生的建模能力、數學分析能力，提升學生的核心素養.

函數最值問題的求解需要掌握一定的理論基礎，從本質上看就是求函數的最大值和最小值，因此需要深入理解最值定理，定理內容中對函數的區間進行了分類，明確了連續函數和有斷點的函數，理解時需要關注有最值的情形，而對于不連續的函數則需要討論斷點處是否有最值，不能一味地照搬連續函數最值問題的解析思路.

對于函數最值問題，求解時可以結合函數區間上連續與圖像曲線連續之間的關聯，即“f（x）在區間上連續”？葑“函數圖像為連續曲線”. 求函數的最值實則就是求在區間上曲線的最值點，可能的點包括曲線的端點和曲線內部的凸點和凹點. 在解析教學時需要利用直觀的圖像來展示問題，如圖1函數，將其轉化為較為簡單的直接的問題. 同時引導學生關注問題根本，可以肯定的是：在函數區間上的最值必然也是局部的最大值或最小值，因此在該情形下，函數的極值點就是其最值點;而對于開區間（a，b），其駐點和不可導點就是其極值點，只需要提取函數中的這些特殊點，然后計算特殊點對應的值，并加以比較就可以確定結論. 教學中同樣可以借助直觀的圖像，如圖2所示，端點坐標是（a，f（a））和（b，f（b）），駐點坐標為（x■，f（x■））和（x■，f（x■）），而（x■，f（x■））為其不可導點. 若求解f（x）的最值，通過比較上述特殊點位置處的函數值大小就可實現.

從上述分析可以得出如下結論：求解閉區間上連續函數的最值，只需要關注其中的端點、駐點和不可導點. 具體求解可以按照一定的思路方法進行，概括為“求導，找點，計算，比較”八字.

①首先，根據題設條件明確f（x）的區間，求解f′（x）;

②其次，根據導函數f′（x）提取開區間上的特殊位置的點（駐點、不可導點）;

③然后，逐個計算三大類點（端點、駐點、不可導點）處具體的值;

④對比三大類點的函數值，根據值的大小即可確定函數的最大值和最小值.

■方法解讀

對于函數最值問題，在掌握基本的解題思路基礎上，還需要關注其具體的解題方法，該類問題的解法也較為多樣，合理利用可以顯著提高解題效率. 解析問題時可采用代數轉化法和函數單調性等方法，針對具體的問題需要根據函數的解析式、變量個數、函數曲線、區間特點等來選定方法，下面舉例講解.

1. 配方法

配方法是求解該類問題的有效解法，主要內容是將函數解析式中的某些項分配為一個或多個多項式，從而達到簡化問題的效果. 該方法較為簡單，容易掌握，對于三角函數最值問題，可以采用配方法對函數解析式進行轉化，后續利用正弦或余弦函數的值域來確定原函數的最值;而對于復合性函數，則可以整體上轉化為二次函數形式，利用二次函數的性質來解決，如下列問題可用配方法解決.

例1：已知函數y=2x+2-3·4x，如果-1≤x≤0，試求該函數的最值.

解析：上述函數屬于復合函數，利用配方法可逐步將問題變為對應的二次函數，具體如下，y=-32x-■■+■，已知-1≤x≤0，則■≤2x≤1. 由二次函數的性質即可得：當2x=1時，取得最小值1;當2x=■時，取得最大值■.

評析：上述函數采用配方法，最終將最值問題變為了二次函數問題，從而借用二次函數的性質確定了最值. 這是由于轉化后函數單調性簡單明了，可直接確定函數在區間上的變化趨勢，問題中最小值的點位于其端點處，而最大值的點位于其駐點處.

2. 單調性法

單調性法，即利用函數的單調性來確定函數在定義域上變化趨勢的方法. 求解時可以借用求導的方式來確定函數的單調性，然后根據其單調性直接獲得最值點.

例2：已知f（x）=x3-3x+1，試求函數在區間[-3，0]上的最值.

解析：上述為一元三次函數，可以結合求導利用函數單調性法來求解，則有f′（x）=3x2-3，分析可知在[-3，-1）上，f′（x）>0，f（x）在該區間內為增函數;在[-1，0]上，f′（x）≤0，f（x）在該區間內為減函數. 綜合分析可知x=-1時f（x）取得最大值，且f（-1）=3，則其最小值在端點處，由于f（-3）=-17< f（0）=1. 綜上可知原函數的最大值為3，最小值為-17.

評析：上述求解函數的最值采用了單調性法，而函數的單調性確定使用了求導的方式，其中函數的定義域對函數最值的確定十分重要，解析時需要結合函數單調性和定義域來確定最值點.

3. 換元法

換元法也是求函數最值常用的方法，同樣可用于復合性函數，可有效降低思維難度. 該方法指的是在解析時通過引入一個或多個新的變量來替換原函數中的某些變量，從而簡化函數. 解析函數最值問題，換元的方式有兩類，包括代數換元和三角換元，具體解題時可以根據函數形式來靈活選取.

例3：試求函數y=■的最大值.

解析：該問為涉及三角函數的最值問題，可以對函數進行適當變形，采用換元的方法來簡化. 變形可得y=■=（sinx+1）+■，令1+sinx=t，則0

評析：上述函數復合了三角函數，顯然采用換元的方法更為有效，將問題轉化為了更為簡潔的函數. 同時換元過程中重新確定了新函數的定義域，為后續的最值分析提供了條件，解析時需要關注定義域的變化.

■思考建議

函數最值屬于綜合性問題，在實際教學中需要注重教學重點，注意調動學生參與思考. 如課堂教學應深入探究函數最值問題的根本，將解題步驟和方法作為教學重點，引導學生掌握不同問題的解析方法，提升學生解題思維的靈活性. 課堂教學中應充分激發學生的學習興趣，尊重學生的主體地位，引導其參與教學討論，主動思考問題. 同時教學中可適當借助知識框圖，幫助學生梳理問題難點、知識脈絡、方法核心，用形象的聯想來構建類型問題的解題策略.