培元固本：弄清數學抽象的基本內涵

楊理想

[摘? 要] 在高中數學學科核心素養的六個要素中，數學抽象是第一要素，要對數學抽象培元固本，就必須真正弄清數學抽象的基本內涵. 數學抽象的過程是認識現實世界本質的過程，數學抽象的結果是以抽象的形式反映客觀世界. 數學抽象遠不是將形象的物體轉換為形（或以數述形）那么簡單，其背后有豐富的數學思想方法與思維活動作為支撐.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;數學抽象;教學理解

在致力于培育學生數學學科核心素養的時候，教師需要思考一些根本的問題，如對數學學科核心素養中的六個要素是不是有準確的理解. 一個基本的邏輯是，如果對核心素養要素理解不準確，那數學學科核心素養乃至于核心素養的培育，就是一句空話. 從這個角度來看，理解核心素養要素的過程，就是一個培元固本的過程. 在高中數學學科核心素養的六個要素中，數學抽象是第一要素，而且在高中數學教學的傳統中，對數學抽象本來就有著高度的重視，但對于相當多的一線教師而言，數學抽象并不是一個非常熟悉的概念，甚至很多時候只是經驗性的理解，甚至只是望文生義式的理解，顯然這樣的理解是不夠的，要對數學抽象培元固本，就必須真正弄清數學抽象的基本內涵.

■核心素養培育需要怎樣的數學抽象理解

在核心素養的視角之下，理解數學學科核心素養，常常認為數學核心素養是具有數學基本特征且能夠適應個人（學生）終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現. 而數學抽象位居六個數學核心素養之首，史寧中教授給出的觀點是：數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 顯然，學生的數學學習過程，本質上是用自己的思維加工數學研究對象的過程，而數學研究對象又是數學抽象的結果，所以理解數學抽象的內涵，其實就是數學學習的前提. 筆者在參考了相關理論文獻的基礎上，對數學抽象的內涵提出如下兩點理解：

第一，數學抽象的過程是認識現實世界本質的過程. “一切科學的抽象，都更深刻、更正確、更完整地反映著自然”（列寧語），在高中數學教學中，學生的學習對象更多的是抽象之后的數與形，其中“數”又常常被用來描述“形”. 學生在數學學習過程中，由于學習的對象是已經抽象后的對象，因而學生學習起來就感覺比較困難，但這樣的認識確實容易讓學生陷入一種認識誤區，即無法認識到數學學習的過程是建立在數學抽象的基礎之上的，從而也就無法體驗一個認識世界本質的過程.

第二，數學抽象的結果是以抽象的形式反映客觀世界. 相比較于傳統的數學學習而言，數學抽象所追求的是用抽象的結果反映客觀世界，而這樣一個過程，對于高中學生而言是相對陌生的，因為在應試形態下，高中生所理解的數學學習過程就是學習數學知識并利用數學知識去解題，這樣的過程自然不能反映數學抽象的過程，自然也不能反映數學學習的本質. 而在教學中承認數學抽象的結果是以抽象的形式反映客觀世界，實際上還有另外一層含義，那就是數學與現實世界的關系是十分密切的，數學是反映現實世界的重要方式.

以上兩點理解，分別從過程與結果角度闡述了數學抽象的理解，雖然這樣的理解偏理論，而且顯得比較學術化，但筆者以為，要想超越經驗化的理解，就必須站在一定的理論高度，真正洞察數學抽象所描述的現實與數學的關系. 而高中生的數學學習，顯然需要建立在這一認識的基礎之上.

■數學抽象素養要素的落地如何得到實現

在上述理解基礎之上，教師要思考的一個基本問題，自然就是數學抽象這一素養要素如何落地. 教師的任務是教學，很多時候教師的第一反應就是教師通過自己的“教”去落實核心素養. 但是有研究者指出：素養是無法教的！因此在一線教學實踐中教師該如何真正落實數學核心素養，是每個數學教師都應該思考的問題. 對這個觀點，筆者的認識是這確實是一個問題，而素養尤其是核心素養作為學生成長的長遠目標，未必能夠在教師即時的課堂上“教”出來，但這并不意味著教師就應該無所作為，相反，素養作為學生在學習過程中的一種積淀，恰恰需要教師進行有效的設計，這樣才能讓學生有所吸收，有所沉淀. 相應的，也有研究者提出可從理解核心素養背景下的數學抽象概念、發掘核心素養背景下數學抽象的內涵、在數學抽象的三個階段中培養學生的數學抽象能力等角度來進行. 可以來看一個例子：

在“圓與圓的位置關系”的教學中，站在學生的角度分析知識的建構過程，可以發現教師如下選擇：直接基于邏輯去建構圓與圓的位置關系，其主要的依據就是兩個圓的半徑之和（r1+r2），與兩個圓的圓心之間的距離d的關系. 由于這兩者關系之間的邏輯性，所以學生可以通過邏輯推理建構出圓與圓的位置關系. 但教學中筆者發現，部分學生在理解這一關系的時候會出現障礙，而究其原因是學生大腦中的表象并不清晰，由于沒有一個形象的表象作為支撐，故學生思維加工的對象也就不會清晰，這自然會對后續的學習產生影響. 為了幫學生建立這一表象，教師就可以為學生設計一個數學抽象的學習過程. 考慮到高中學生的經驗基礎，這個數學抽象的出發點不一定是生活中的圓，而可以是學生大腦中對圓與圓的位置關系的認識.

筆者是這樣設計的：首先讓學生在草稿紙上任意畫出兩個圓，在此過程中教師巡查并且對學生的畫圖結果進行分類，然后借助于現代教學手段進行呈現. 如果不出意外，學生畫得最多的是兩圓相離的情形，少有兩圓相交的情形，另外兩圓內切或外切的情形則比較少見甚至沒有. 這個時候教師就可以進一步提出問題：兩個圓除了已經呈現出的位置關系之外，還有沒有其他的位置關系了？

根據筆者的教學經驗，這個時候相當一部分學生的第一反應仍然是看自己在草稿紙上畫的圖，或者在草稿紙上再次進行畫圖. 這一事實再次表明，學生在學習這一知識的時候，仍然是需要表象作為支撐的. 而表象來自學生的認知基礎與生活經驗，讓學生畫圖，實際上就是讓學生將自己生活經驗中的與圓的位置有關的經驗提取出來，這樣學生的大腦當中就可以進行一個比較純粹的數學抽象過程. 這個抽象不是將實物圓變成數學意義上的圓，而是將自己大腦當中與圓的位置有關的認知經驗，變成可以用“兩個圓的半徑之和與兩個圓的圓心之間的距離的關系”來描述的對象.

這一點在教學當中不需要明確闡述，只要學生進入數學抽象的過程即可. 事實證明，通過上述教學過程，學生大腦當中可以清晰地建立起圓與圓的5種位置關系，而且他們會對這5種關系進行排序，排序的依據就是“兩個圓的半徑之和與兩個圓的圓心之間的距離的關系”（由大至小，或者由小變大）. 這樣的教學過程歷時不到十分鐘，但是學生大腦中的圓與圓的5種位置關系及其表達卻變得非常清晰，這說明數學抽象的過程是有效的.

■作為科學方法與思維活動的數學抽象素養

分析上面這樣一個教學過程，可以發現在研究圓與圓的位置關系的時候，較好地體現了數學與生活的一面，也就是數學抽象所強調的數學是描述世界本質的. 同時在教學中還應當注意到，在數學學科的視野里，抽象還是形成概念及其規律的必要手段，而且抽象是人類認識世界的一種科學方法和思維活動.

從科學方法與思維活動的角度來理解數學抽象，其實也是符合數學學科核心素養的界定的. 核心素養原本強調的就是必備品格與關鍵能力，數學抽象更多的指向關鍵能力. 能力是什么？能力不是一個空洞的概念，能力往往體現在人的學習與生活當中，尤其是生活中的問題解決. 良好的問題解決，總是以科學方法與高效的思維活動作為支撐的，當數學運用于生活的時候，當學生運用數學知識去解決問題，尤其是生活問題的時候，學生要做的第一件事情就是將生活對象進行抽象，以使其變成一個數學問題. 而對生活對象進行數學抽象，就必須建立在科學方法與思維活動的基礎之上.

高中數學當中有很多這樣的情形，例如平面解析幾何的學習，無論是研究直線與方程的關系，還是研究圓與方程的關系，又或者更細致一點“研究直線的斜率”，看起來是一個簡單的知識，但是這一知識原本卻是誕生于生活中描述直線傾斜程度的需要——很多生活情形可以抽象為這一需要. 所以站在這個角度去理解數學抽象，就可以發現數學抽象遠不是將形象的物體轉換為形（或以數述形）那么簡單，其背后有豐富的數學思想方法與思維活動作為支撐，認識到這一事實，在高中數學教學中往往可以設計出更加符合學生認知需要與數學課程目標需要的流程，從而為核心素養的落地提供可靠的保證.