凸顯四要素 助力培素養(yǎng)

陳之領(lǐng)

[摘? 要] 文章通過“基本不等式”一節(jié)課四個環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計，例談了如何在培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)設(shè)計凸顯適切情境、思維活動、數(shù)學(xué)本質(zhì)、實踐應(yīng)用等課堂教學(xué)四要素.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);適切情境;思維活動;數(shù)學(xué)本質(zhì);實踐應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析. 特別強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體. 《標(biāo)準(zhǔn)》自頒布以來，如何培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)日益成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的熱點問題. 基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)視角下的課堂教學(xué)設(shè)計要凸顯哪些要素是值得思考的一個問題. 筆者以為適切情境、思維活動、數(shù)學(xué)本質(zhì)、實踐應(yīng)用等四要素是值得追求的. 下文以“基本不等式”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計為例，淺談自己粗淺的感受.

■情境——創(chuàng)設(shè)適切情境，滲透數(shù)學(xué)文化

課堂教學(xué)的任務(wù)就是把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)變成教育形態(tài)的數(shù)學(xué)、文化形態(tài)的數(shù)學(xué). 學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識，要講究效率，更要經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，因此情境的創(chuàng)設(shè)就顯得尤為重要.

情境創(chuàng)設(shè)有很多種類型，如生活情境、游戲情境、科學(xué)情境等. 適切的情境有助于引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于知識更好更快地呈現(xiàn)，有利于學(xué)生更好地理解知識產(chǎn)生的源頭或必要，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與提高.

三國時期趙爽創(chuàng)制了一張弦圖，直觀而絕妙地證明了勾股定理. 在設(shè)計本節(jié)課教學(xué)情境時，筆者借鑒趙爽弦圖直觀簡潔的特點，仿制了這樣一個折紙活動教學(xué)情境：

第一步：每位同學(xué)用兩張面積分別為a，b（如圖1）的正方形紙片，沿對角線對折成如圖2所示的圖形，然后將對折后的等腰直角三角形紙片沿斜邊重合.

第二步：小三角形上沿延長至大三角形的直角邊，整個拼圖就變成了一個矩形和一個更小的等腰直角三角形，如圖3.

問題1：整個拼圖的面積和矩形的面積分別是多少？

問題2：顯然拼圖的面積（整體）大于矩形的面積（局部），你能用數(shù)學(xué)符號語言來表達(dá)這一結(jié)論嗎？

問題3：問題2中的結(jié)論描述了一種不等關(guān)系，那么滿足什么條件時兩者的面積相等？

學(xué)生很快就得到了這三個問題的答案：

問題1的答案：■與■;

問題2的答案：■>■;

問題3的答案：等號成立的條件是a=b.

從學(xué)生的反應(yīng)來看，上述折紙活動簡單易做，結(jié)論簡潔明了. 與教材中的“用制造的不精確的天平測兩次同一物體的質(zhì)量”相比，折紙活動的情境創(chuàng)設(shè)源頭來自趙爽弦圖，進(jìn)行合理的遷移，直觀而簡潔，學(xué)生易于接受而又感興趣，凸顯了數(shù)學(xué)文化的韻味. 學(xué)生從具體的折紙活動抽象到代數(shù)式的生成是一個理性思維形成的過程，既是數(shù)學(xué)抽象的過程，又是歸納整理的過程，為數(shù)學(xué)建模提供了有效方案和解決經(jīng)驗.

■活動——鼓勵活動探究，提升批判思維

折紙活動中，學(xué)生雖然感知了基本不等式公式的形式，但對其深刻的內(nèi)涵還沒有剖析和領(lǐng)悟，為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主探索和理解基本不等式的“基本”含義，定理形成的抽象過程以及邏輯上的正確，在給出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)兩個概念之后，筆者又設(shè)計了以下活動.

針對以下幾個“問題串”，請同學(xué)們思考并討論：

問題4：有沒有可能出現(xiàn)■<■呢？如果不能，為什么？如何證明你的結(jié)論？

問題5：結(jié)論可以合寫為■≥■嗎？那么結(jié)論中的a，b有什么范圍？如果脫離紙片這個載體，結(jié)論中的a，b的范圍可否再擴大？能否用文字語言表達(dá)這一結(jié)論？

問題6：在證明結(jié)論過程中，你發(fā)現(xiàn)■≥■其實和哪個知識是等價的？

對于問題4，學(xué)生通過自己獨立的思考和相互交流之后認(rèn)為不可能出現(xiàn)■<■，理由是圖形整體的面積不可能比局部面積小，但是具體如何證明有難度，經(jīng)過筆者點撥后順利地用差比法證明了■≥■一定成立.

對于問題5，學(xué)生認(rèn)為a，b的范圍可以從大于零擴展為非負(fù)數(shù)，即a=0，b=0亦適用，但對于文字表述存在困難，絕大多數(shù)的學(xué)生還在表述中存在具體的字母a，b而沒有抽象為任意兩個非負(fù)數(shù)，經(jīng)指出后認(rèn)識到其一般性：兩個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).

對于問題6，學(xué)生一致給出了想法：實數(shù)平方非負(fù)，因為證明到最后，其實是利用了（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0反映了實數(shù)的基本性質(zhì)，正是源于實數(shù)的這一基本性質(zhì)，我們把其稱為基本不等式.

設(shè)計這個活動是為了讓學(xué)生在對自己感知的結(jié)論進(jìn)行批判性反思的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一般性的抽象，上升為理性的數(shù)學(xué)成果. 學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)和交流，通過推理完善知識的構(gòu)成，辨析運算中的字母優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

■本質(zhì)——淡化數(shù)學(xué)形式，注重本質(zhì)理解

學(xué)生在經(jīng)歷了6個問題以后，得到了完整的基本不等式定理，也理解了“基本”的含義，理解了基本不等式是兩個平均數(shù)的比較，但對其深刻的內(nèi)涵還沒有充分挖掘. 《標(biāo)準(zhǔn)》對這一知識點的要求是“掌握”. 掌握意味著要能分析、推導(dǎo)、證明、運用、解決等. 為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解定理的本質(zhì)，達(dá)成課程目標(biāo)，筆者設(shè)計了如下活動.

問題7：a，b既然是任意非負(fù)數(shù)，如果把■當(dāng)成b，會得到什么樣的結(jié)論？

問題8：求函數(shù)y=x+■（x>0）的最小值.

問題9：求函數(shù)y=x+■（x>-2）的最小值.

問題10：函數(shù)y=sinx+■，x∈（0，■）有最小值嗎？

“問題串”的設(shè)計從一個數(shù)變成一個式開始（本質(zhì)上代數(shù)式運算的結(jié)果還是一個數(shù)），逐漸過渡到右邊結(jié)果為定值，再過渡到形式上的補數(shù)湊形，到最后關(guān)注等式成立的條件，使學(xué)生對定理在運用時的條件有了本質(zhì)的把握. 問題解決過程中，學(xué)生時而能快速理解，時而一步不前，時而又聯(lián)想頓悟. 對定理形式化表達(dá)和運用有了更準(zhǔn)確的理解.

■應(yīng)用——強化數(shù)學(xué)應(yīng)用，拓展學(xué)生素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)……是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的. 數(shù)學(xué)的應(yīng)用既有數(shù)學(xué)抽象體系內(nèi)的運用，也有現(xiàn)實生活中的實踐應(yīng)用. 實踐運用幫助學(xué)生從現(xiàn)實生活進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.

問題11：汽車已經(jīng)成為如今很多人出行的方式. 疫情期間，沙特、俄羅斯和美國產(chǎn)生石油矛盾，油價起伏較大，試以兩次加油為例，說明定量加油和定金額加油哪種方式更劃算？（定量加油是指每次加相同的油量，定金額加油是指每次加相同的金額）

事實上，如何理解“加油劃算”是一道坎，用更少的錢加相同的油或用相同的金額加更多的油，本質(zhì)都是考慮到兩次加油后油價均價更低，所以需要抽象出“均價”這一概念. 如何表示每種方式兩次加油后油價的均價又是一道坎，生活中，均價的概念是總價除以總量，需要學(xué)生有一定的生活體驗. 如何比較兩種均價高低涉及數(shù)學(xué)中比大小的方法，在證明基本不等式時差比法課堂上剛涉及，難度不是很大. 兩種加油方式涉及的兩次油價的均價分別對應(yīng)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)，判斷兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系恰恰進(jìn)一步深化了學(xué)生對基本不等式的理解. 在整個題目求解的過程中，學(xué)生對不等式的學(xué)習(xí)會有更深刻的理解.

高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，也是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革追求的核心. 在以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計中，如果能創(chuàng)設(shè)適切的情境，組織形式多樣的數(shù)學(xué)思維活動，不斷突破數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解，加強數(shù)學(xué)知識的實踐應(yīng)用，一定能夠助力學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).