淺析借助幾何直觀解決數學中的類“線段條數”問題

張芳芳

摘 要：幾何直觀就是依托幾何圖形和直觀物體進行數學的思考、想象。幾何直觀是義務教育階段新課程標準中提出的10個核心概念之一，需要我們在數學教學中借助相關內容有機的去發展學生的幾何直觀素養。本文借助同一平面中的幾個點可以組成幾條不同的線段模型，來解決同類問題，以下稱為類“線段條數”問題。

關鍵詞：幾何直觀 線段條數問題

一、幾何直觀的意義

義務教育數學課程標準指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把生活中復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測或獲取結果。”[1]在研究數學問題的過程中，幾何直觀可以將生活中具體形象問題轉化為抽象數學幾何圖形問題，使問題變得簡明、清晰。學生借助幾何直觀進行思考、猜想、驗證，進而獲得結論或者推翻假設，達到問題解決和能力的提升。幾何直觀能力的培養至關重要，它是我們邏輯思維形成和發展的起點。

二、線段條數問題

線段條數問題：是指平面中或者一條直線上有幾個不同的點，可以組成不同的幾條線段。如圖，直線上有四個不同的點，可以組成幾條不同的線段？你有什么發現？（圖1）

學生借助以下幾何直觀方法：線段圖、樹狀圖、列舉法、歸納公式法。（這四種方法在以下具體問題中體現）

三、類“線段條數”問題的解決

以下問題都可以抽象為類“線段條數”問題加以解決：

（1）在中外領導人的會晤中，按禮節要握手。若每兩人握1次手，則3個人共握幾次手？4個人共握幾次手？

（2）象棋比賽中，所有比賽選手要進行兩兩對弈，若有3人，則一共下幾局，若有4人呢？5個人呢？……n個人呢？

（3）一列高鐵往返于兩城市之間，每次運行停靠n個站點（包括起點站和終點站）。請問鐵路部門共應發售多少種不同的車票？

問題（1）是簡單的組合問題。主要安排在義務教育數學課程標準要求的第二學段，青島版教材四年級上冊和五年級下冊進行學習，重點在于培養學生借助幾何直觀，為解決問題提供思路。問題（2）是在問題（1）基礎上對研究對象的擴展到無數（進一步滲透極限思想），引導學生借助幾何直觀找到解決方法。并幫助學生理解、記憶和應用數學學習中發現的規律或總結的結論，為初中和高中學習排列與組合打下良好的基礎。

問題（1）、（2）是典型的類“線段條數”問題。此階段學生抽象思維開始發展，借助幾何圖形引導學生思考拓展學生的想象力。將研究對象“人”抽象為一個點，把“兩人握手或比賽”抽象成“兩點之間連接成的線段”，借助直觀圖形就可以簡明地解決問題。

其解決方法是：

方法一：線段圖（如圖2）。借助幾何直觀直接在圖上數出線段條數，數的時候要避免重復和遺漏。提醒學生從“A”開始依次與其后邊“B、C、D”全部完成握手，接著從B開始依次與其后邊的人握手，直至結束。當“B”與其余人握手時，注意不能與“A”重復握手，最后數出所有次數：共計6次。

方法二：樹狀圖（如圖2）。用簡單的樹狀圖直觀展示出組合結果。

得到結果：四個人兩兩握手共握6次。

方法三：列舉法。列舉法是將所有符合題意的結果一一列舉出來。是學生思維發展到更高階段出現的，此時學生的空間想象能力得到進一步發展，邏輯思維、空間觀念和推理能力得到一定發展，有的學生無需借助幾何圖形，將研究對象抽象為字母或者符號，逐一列舉出對應組合，直觀的數出結果，從而解決問題。此法用于研究對象有限且數據較小時。

如四人兩兩握手列舉如下：AB AC AD

BC BD

CD 得到結果：共計6次。

方法四：歸納公式法。當第二個問題擴展為n個人時，可采用幾何圖形或圖表的力量進行歸納，總結出規律或歸納出公式直接應用。人（點）數 線段條（次）數 規律

2 1 1

3 3 2+1

4 6 3+2+1

…… ……

n n（n-1）/2 （n-1）+…+3+2+1

綜上可知，生活中的握手問題，雙人對弈或者選手兩兩比賽問題，實際上都是簡單的組合現象，皆可抽象為“線段條數”問題 ，借助以上四種幾何直觀的方法，可以直觀的簡明的解決。此式（n-1）+…+3+2+1的求解方法，即對于n個點中的任何一個點都可以與其余的（n-1）個點組成（n-1）條線段，但每一個組合都重復算了一次，故共計線段條數n（n-1）/2條。或者向學生講解采用高斯求和公式進行計算。

問題三“車票問題”和“握手問題”有所不同，其中蘊含著排列思想。學習時若將“車票問題”看成“線段問題”，這里的線段有方向的，是矢量，從A至B是一種車票，從B至A是另一種不同的車票，學生借助先前經驗，得出結論就是“線段問題”的二倍，即n（n-1）。將組合和排列理解透徹。

結語

隨著知識難度的擴展和深化，早期幾何直觀模型的建立至關重要，我們生活的是一個多維空間，要進行歸納探究規律解決生活中一些常見的問題，勢必要采用數形結合即幾何直觀的方法，它是學生發展空間觀念的重要媒介，是數學研究和發展的一種重要方法。在日常教學中，我們要重視培養學生的這種能力。

參考文獻

[1]義務教育數學課程標準（2011版）解讀[M].北京師范大學出版社，2012.200.