淺析初中數(shù)學(xué)中的最值問題

余春娥

摘 要：數(shù)學(xué)來源于生活，初中數(shù)學(xué)中的幾何部分更是與生活緊密相連。如何將生活實(shí)際中的問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題，并使用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。幾何最值問題是考試中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，所涉及到的情況有很多種，在課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生辨析情形、歸納總結(jié)、拓寬思路，同時(shí)注重巧用變換、構(gòu)造模型、簡(jiǎn)化解答過程，從而達(dá)到事半功倍、舉一反三的效果。

關(guān)鍵詞：幾何教學(xué);最值問題;科學(xué)方法

幾何最值問題通常為最短路線問題的引申，這類問題是考試中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，這類問題本身的特點(diǎn)為解答過程簡(jiǎn)單，但是思考過程卻相對(duì)復(fù)雜，屬于一種能力考查類的題目。這類題解答的關(guān)鍵在于“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”這一原則。通過對(duì)稱的方式，有效構(gòu)建不同點(diǎn)的共線，從而找出最短線路。

如何將實(shí)際中的問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題，并使用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，這也是考試題目本身的意義。

幾何最值問題涉及到的情況有很多種，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么所求的最短路線是線段;當(dāng)所求的最小距離的兩個(gè)點(diǎn)不在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，就需要通過將曲面或者是折面進(jìn)行鋪平處理，將實(shí)際的曲面問題轉(zhuǎn)換成為平面問題，這和數(shù)學(xué)中比較常用到的一種轉(zhuǎn)換的思想比較相似，將一個(gè)不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成為我們所熟悉的問題，再進(jìn)行求解。平面的最短距離問題的思路在于將兩側(cè)的點(diǎn)進(jìn)行同側(cè)的轉(zhuǎn)化，一般通過對(duì)稱投影的方式，連結(jié)一點(diǎn)與另一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，從而獲得最短距離。因此，通過對(duì)稱或者是投影的方式進(jìn)行直線的構(gòu)建，成為了這類題目解答的關(guān)鍵所在。

這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面的。例如，在地球（近似看成圓球）上任意的A、B二點(diǎn)之間的最短距離問題，應(yīng)如何考慮呢？通常而言我們使用A、B兩點(diǎn)及地球球心O的平面形成截面，其截面的截痕為圓周（稱大圓），在這個(gè)大圓周上A、B兩點(diǎn)之間不超過半個(gè)圓周的弧線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線，航海上叫短程線。這種問題其實(shí)是一種實(shí)際的問題之一，但是此處不做研究，因此我們所建立的模型本身是一種數(shù)學(xué)化的模型，與實(shí)際情況相同，卻又與實(shí)際情況存在差距，實(shí)際問題需要考慮的因素太多，此處不詳加談?wù)摗?/p>

解答最短線路的問題時(shí)，通過“對(duì)稱”的方式將兩點(diǎn)之間的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使得兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理，從而有效找出最短路線.這種也是一種數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想。

此外，函數(shù)的最值問題是一種典型的應(yīng)用型題目，常出現(xiàn)在中考的試卷之中，一般為中高檔類型的題目。這類問題本身貼近生活中與社會(huì)中的問題，可以有效體現(xiàn)出數(shù)學(xué)本身的人文價(jià)值與社會(huì)價(jià)值，同時(shí)有利于考生的分析能力、建模能力以及綜合應(yīng)用能力等全方位的考查。其中常見的函數(shù)又可以劃分為一次函數(shù)與二次函數(shù)。對(duì)于這類問題的解答重點(diǎn)在于建立函數(shù)關(guān)系，進(jìn)行函數(shù)分析，進(jìn)而求得最值。

一、利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題

一般的一次函數(shù)而言，其自變量的取值為全體實(shí)數(shù)，那么就不存在最值，然而實(shí)際情況下考慮時(shí)，其自變量會(huì)有所約束，也就是數(shù)學(xué)中的取值范圍限制，一次函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，那么在特定的自變量范圍之內(nèi)，就會(huì)出現(xiàn)最值。這類問題進(jìn)行求解時(shí)，建立一次函數(shù)的同時(shí)，應(yīng)注意將自變量的范圍進(jìn)行確定，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最值的求解。

例：房地產(chǎn)開發(fā)商，計(jì)劃在某地建設(shè)A、B兩種戶型的住宅房80套，該開發(fā)商計(jì)劃的投資額在2090萬到2096萬元，已知兩種戶型的建造成本如下表所示：

（1）該公司對(duì)這兩種戶型住房有哪幾種建房方案？

（2）該公司如何建房獲得利潤(rùn)最大？

（3）通過市場(chǎng)的信息反饋可知，B型住宅的售價(jià)維持不變，A型住宅房的售價(jià)將會(huì)提升a萬元（a>0），假設(shè)A、B型住宅可以全部售出，問該開發(fā)商如何實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化？

注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本

分析（1）設(shè)A型住宅的住房建有x套，那么B型住宅的住房就有（80-x）套，根據(jù)題意：開發(fā)商計(jì)劃的投資額在2090萬到2096萬元，以此可建立不等式關(guān)系，通過不等式的解的范圍，同時(shí)x為整數(shù)，那么就可以確定出x的值。

（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決。

（3）要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏，注意思維的縝密性。

說明：此題的第（1）問是利用一元一次不等式組解決的，第（2）、（3）問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的，要注意三問之間相互聯(lián)系。

二、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題

二次函數(shù)的最值問題與一次函數(shù)的最值問題比較相似，首先進(jìn)行實(shí)際問題的二次函數(shù)關(guān)系建立，如此便將實(shí)際問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，再通過應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，得到最值，有效解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)作為一門思維性極強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方面有其得天獨(dú)厚的條件，而幾何最值問題的教學(xué)，又可充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造能力，尤其對(duì)學(xué)生思維變通性、創(chuàng)造性的訓(xùn)練提出了新的更多的可能性，所以，在最值問題的教學(xué)中，選用的問題既要有一定的難度，又要為大多數(shù)學(xué)生所接受，既要隱含“創(chuàng)新”因素，又要留有讓學(xué)生可以從不同角度、不同層次充分施展他們聰明才智的余地，如：函數(shù)的最值問題，一定要給學(xué)生以足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行充分的探索和交流。對(duì)此，學(xué)生可能有很多解決問題的方法，對(duì)學(xué)生提供的方法不要急于肯定或否定，應(yīng)讓學(xué)生通過實(shí)際操作和充分討論，認(rèn)識(shí)到不同的方法得到的結(jié)果可能不一樣，進(jìn)而組織學(xué)生深入討論：從學(xué)生提供的這些方法中能得到什么樣的結(jié)果？通過什么樣的方法才能得到正確的結(jié)論？這樣的討論，其目的在于通過學(xué)習(xí)提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題和提出新問題的能力，在最值問題教學(xué)中，注重學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、重組應(yīng)用，才能從綜合的角度培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。