三角函數最值問題

石井臣

摘 要： 三角函數一直是中學數學的重點，也是難點，它的最值問題在考試中屢見不鮮，在幾年來的單招考試中經常出現.其出現形式多種多樣，有較強的變化性，或者在小題中單純考察三角函數的值域問題；或者隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識點之一；或者解決某一問題時，應用三角函數有界性會使問題更易于解決.

關鍵詞： 三角函數 最值問題 例題分析

三角函數一直是中學數學中的重點，也是難點，它的最值問題在考試中屢見不鮮，幾年來的單招考試經常出現.出現形式多種多樣，有較強的變化性，或者在小題中單純考察三角函數的值域問題；或者隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識點之一；或者解決某一問題時，應用三角函數有界性會使問題更易于解決.主要有以下幾種類型：

1.形如y=msinx+ncosx型的函數

該表達式是含有正弦函數和余弦函數的函數，并且都是一次的.解決此類問題的指導思想是利用兩角和的三角函數公式把該式化成一個角的三角函數后再求最值.

化函數形式為y=sin（x+φ），其中tanφ=（m≠0）.

例1.函數y=4sinx+3cosx的最值是（D）

A.最大值是7，最小值是-7 B.最大值是4，最小值是-4

C.最大值是3，最小值是-3 D.最大值是5，最小值是-5

分析：化函數為y=sin（x+φ），即y=5sin（x+φ），其中tanφ=，再根據正弦函數值域求出次函數最大值和最小值.

2.與二次函數相類似函數y=asinx+bsinx+c的最值

特點是含有正弦函數和余弦函數且形如二次函數.

此種類型函數最值解法：①根據同角平方關系式首先統一函數名稱；②利用換元法將函數轉化為二次函數；③根據換元后的變量的取值范圍確定此函數的最值.

例2.求函數y=cosx+cosx的最值.

解：令cosx=m，則函數可化成y=m+m，

又因為-1≤cosx≤1，所以-1≤m≤1。至此把函數最值問題轉化為有條件的二次函數最值問題。

y=m+m的對稱軸為m=-，可得：

當m=-時，函數取得最小值y=（-）+（-）=-；

當m=1時，函數取得最大y=1+1=2.

3.含有sinx、cosx的二次齊式函數最值問題

例3.求y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值.

解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=（sinx+cosx）+2sinxcosx+2cosx

=1+sin2x+1+cos2x=2+sin（2x+）

當sin（2x+）=-1時，y取最小值2-.

4.形如y=的函數最值問題

例4.求函數y=的最大值和最小值.

分析：代數式表示的是過點（2，2）與點（cosx，sinx）的直線的斜率，而點（cosx，sinx）是單位圓上的點，觀察圖形可以得出最值的求法，數形結合是數學中常用的一種解題方法.

解：單位圓的方程x+y=1，設過點（2，2）的直線斜率為k，則直線方程為y=k（x-2）+2，看圖知當直線與圓相切時斜率分別取得最大和最小值.聯立兩方程消變量y得：

（1+k）x+（4k-4k）x+4k-8k+3=0.

令判別式△=-4（3k-8k+3）=0，得k==，

最大值為，最小值為.

例5.求y=cosx+sinx+2sinxcosx的最大值.

解：運用奇妙的換元，令sinx+cosx=t，-≤t≤，平方整理可得sinxcosx=，原式化為y=t+t-1，化為二次函數的條件最值問題.對稱軸方程：t=-，所以，當t=時，函數取得最大值y=2+-1=+1.

通過歸納整理，大家對三角函數的最值問題不會非常陌生了，當然有關三角函數的問題很廣，類型繁多，以上幾種類型是中學數學學習中經常遇到的情形，遇到陌生題目類型，應該堅持化未知變已知，通過換元或者數形結合等數學方法解決問題.