含雙平方根式無理函數的最值（值域）問題

何春良

摘 要：本文筆者對含雙平方根式無理函數的最值（值域）問題的常規求解進行了探究，方法多樣，但要靈活運用，值得廣大讀者學習與參考.

關鍵詞：雙平方根式；無理函數；最值問題

形如y=af（x）+bg（x）+c的函數叫作含雙平方根式的無理函數，這類無理函數的最值（值域）問題是高三理科數學復習中的一個難點內容，也是近幾年高考命題的熱點內容.由于這類問題的求解涉及函數、幾何、三角、向量以及不等式等數學知識，具有較強的綜合性，若學生沒有掌握比較系統的數學知識，解決這類問題是有一定困難的.為此，筆者對這類問題的求解方法進行了總結與歸納，現將幾種常規方法一一介紹.

一、單調性法

例1 求函數y=3x2-1-4-3x2的值域.

解 易求函數的定義域為[-233，-1]∪[1，233]且為偶函數，所以

當x∈[1，233]時，函數y=3x2-1-4-3x2單調遞增.則當x=1時，ymin=-1；

當x=233時，ymax=3.故該函數的值域為y∈[-1，3].

二、求導法

例2 求函數y=5x-1+10-x-226的值域.

解 易知函數的定義域為[1，10]，當x=1時，y=3-226；當x=10時，y=15-226.當x∈（1，10）時，y′=12（5x-1-110-x），且導函數y′在（1，10）上單調遞減.令y′=0，得x=25126.所以當x∈（1，25126）時，y′>0；當x∈（25126，10）時，y′<0.所以原函數y在（1，25126）上單調遞增，在（25126，10）上單調遞減.則當x=25126時，ymax=26；當x=1時，ymin=3-226.故該函數的值域為

y∈[3-226，26].

三、整體代換法

例3 求函數y=2x2+8x2+1+412-x2-4x2的值域.

解 令t=x2+4x2（4≤t≤12），則y=2t+1+412-t.當t∈[4，12）時，y′=12t+1-212-t在[4，12）上單調遞減.∵當t=4時，y′=13-22<0，∴當t∈[4，12）時，y′<0，函數y=2t+1+412-t在[4，12]單調遞減.∴當t=4時，ymax=3+82；當t=12時，ymin=5.故該函數的值域為y∈[5，3+82].

四、基本不等式法

例4 求函數y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.

解 易知x∈R，y=x2-2x+2+x2+2x+2≥24（x2-2x+2）（x2+2x+2）.

=24（x2+2）2-4x2=24x4+4≥244=22.

當且僅當x=0時取等號，所以該函數的值域為y∈[22，+∞）.

五、數形結合法

例5 求函數y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.

解 函數y=（x-1）2+1+（x+1）2+1的幾何意義是表示動點P（x，1）到定點A（-1，0），B（1，0）的距離之和.易求點B（1，0）關于直線y=1對稱點B′（1，2）.

當A，P和B′三點共線時，P點到A和B的距離之和最小，距離最小為|AB′|=22.

故y≥22，即所求函數的值域為y∈[22，+∞）.

例6 設a，b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為.

解 由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=9，即（a+1）2+（b+3）2=9.

令x=a+1，y=b+3，則問題就轉化成約束件為x>1y>3x2+y2=9，目標函數為z=x+y.

如圖所示：可行域為AB弧（不含A，B兩點），沿直線l0∶x+y=0往上平移，直到與AB弧相切時的P點就為最優解，容易求得P（322，322），此時以P點為切點的切線方程為l∶x+y=32，∴Zmax=322+322=32，故（a+1+b+3）max=32.

總之，當解完了一道題后，要及時歸納與總結方法，力求做到一題多解、多題一解，達到應用自如、熟能生巧、舉一反三的地步，為以后解題打好堅實的基礎.