萬變不離本質 殊途終須同歸

潘吉麗

[摘 要] 在數學教學中，數學問題千變萬化錯綜復雜，其實很多問題，只要我們抓住圖形的幾何特征，探索圖形變化過程中的變與不變，挖掘問題內涵本質，提煉其解題規律及思想方法，就可以將問題迎刃而解.

[關鍵詞] 線段；最值問題；應用

筆者對《寧波市2016年初中畢業生學業考試說明》中利用“圓外一點到圓上點的最大距離和最小距離”模型求線段最值問題的應用進行了初淺分析和研究，這類問題起點高，將多個幾何圖形融合在一起，學生無從下手，總找不到合適的處理方法，那么如何解決這類問題呢？我們發現解決如此難的問題，只要掌握分析問題和解決問題的一些基本方法和技巧，充分利用已知條件，滲透轉化思想，可將這些最值問題最終轉化為同一相應的數學模型進行求解.

模型：如圖1所示，點P為⊙O外一點，則點P到⊙O上各點距離的最大值為線段PB的長，最小值為PA的長（直線PB經過圓心O）.

無中生圓用模型

例1： 如圖2所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，點P為等腰直角三角形ABC所在平面內一點，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍是______.

分析：本題變化的量比較多，不變的是∠AOD=30°和AB=3，因為AB=3為定值，AB所對的張角∠AOD=30°是個定角，所以可將點O看成△OAB的外接圓⊙O′上的動點，要求CO的最大值可轉化到“圓外一點到圓上點的最小距離和最大距離”模型來求解. 如圖5，過點A，O，B三點作輔助圓⊙O′，因為∠AOD=30°，所以∠AO′B=60°，可知△ABO′為等邊三角形. 易證四邊形O′ACB為菱形，因此O′C=3，OO′=3. 故OC的最大值就是O′C+OO′，從而可求出點C到原點O的最大值為3+3.

解題就要抓住問題的本質及關鍵點，例1中有直角，根據“直徑所對的圓周角是直角”，由直角可直接聯想到作輔助圓，即點P的運動軌跡是一個圓；例2中有定角和定線段，根據“圓中相等的圓周角所對的弦相等”可將點O看成△OAB外接圓⊙O′上的動點. 數學的一個最大魅力就是知識間的互相滲透和運用，這兩道例題使我們充分感受到了輔助圓的巨大作用. 作出輔助圓后可以利用“圓外一點到圓上的點的最小距離和最大距離”模型求解. 巧妙地構造輔助圓是靈活運用數學模型解決問題的關鍵，我們必須抓住問題本質條件，掌握解題方法，這樣才能很快把問題化繁為簡、化難為易.

構造相似套模型

隨著問題的層層深入，例3、例4難度又進了一步，此兩題條件中變化的量多，動靜結合，不光是直接利用模型求解，還要我們觀察、發現、分析數學模型，不流于形式，而此時例3、例4解題的重心放在了利用構造相似方法轉化到求線段的最小值，即先通過相似三角形的對應邊成比例轉化到求線段的最小值，再利用模型“圓外一點到圓上點的最小距離和最大距離”求出線段的最小值，此過程讓我們充分體會基本問題知識的類比與遷移，由現象到本質地加以引導，始終想辦法如何運用已知條件把要求線段的最值問題轉化為相應的數學模型來求解.

轉化思想歸模型

例5：如圖10所示，點P的坐標為（3，4），⊙P的半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是⊙P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是______.

例5的解題重心放在了數學轉化的思想上，A（2.8，0），B（5.6，0）隱含了中點條件. 通過三角形中位線策略轉化到要求的線段AC的最小值，體現了數學的轉化思想，揭示了數學的本質，在運用模型的過程中并注意與之相伴的“數學思想方法”的滲透. 我們應充分挖掘問題的本質條件，使原來較為抽象、隱含的條件清晰地顯現出來，讓如此復雜的題目變得如此簡單，達到事半功倍的效果. 盡管題目靈活多變，但始終不變的是如何創造條件靈活地運用模型，并運用數學轉化思想把要解決的問題化歸到相應的數學模型，即解決問題的本質方法不變.

總之，授人以魚，不如授人以漁，在數學教學中，要與學生共同探討基本問題模型與解題的聯系，還原知識的發生、發展及形成過程，使學生對數學中隱含的本質有深刻的理解. 恰當地運用數學模型方法，可以將紛繁復雜的問題化歸為我們熟悉的數學模型進行求解. 不論題目如何變化，只要我們抓住了解決問題的本質方法，便所有作法都相同. 真所謂題目萬變，最終解決問題的方法卻殊途同歸.