無中生圓，圓滿解題

韓菲菲

[摘 要] 對于表面上純屬直線型問題的幾何問題題型，拋開原始的解題思路，提取相關條件，巧添輔助圓，利用圓冪定理解題，可化繁為簡，化難為易. 本文由一道競賽題展開聯想，通過幾個例題來分析如何巧添輔助圓并解題.

[關鍵詞] 輔助圓；圓冪定理；幾何問題

[1992年全國聯賽] 如圖1，在△ABC中，AB=AC，D是底邊上一點，E是線段AD上一點，且∠BED=2∠CED=∠BAC，求證：BD=2CD.

所以∠ECF=90°.

易證△EFG≌△EFC（AAS），

所以∠FEG=∠CED，GF=CF.

因為∠BEF=2∠CED，

所以∠BEG=∠GEF.

可證△BEG≌△FEG（ASA），

所以BG=GF=CF.

所以BF=2CF.

根據角平分線性質得BD=2CD.

有比較，才知優越. 我們發現方法二更完美，究其原因，在于圓. 圓是最美妙的幾何圖形. 圓的根基是弧，且具有完美對稱性，具有很多圓冪定理，所以能用好圓，領悟圓，會讓我們解題舉重若輕，充滿創造性. 在處理平面幾何中的許多問題時，需要借助圓的性質使問題得以更好地解決，但是我們所需要的圓卻并不存在，這就需要我們利用已知條件，做到“無中生圓”.

下面結合幾個例題簡單地談一下如何根據具體情境生圓，做到圓滿解決.

利用圓的定義生圓

解析 因為AB=AC=AD，所以以點A為圓心，AB為半徑作圓，點B，C，D均在圓上. 利用△ABC為等腰三角形，且AE為中線得到AE為高，又因為AE=EC，由圓周角定理等條件計算得到∠EAC=45°，∠BAC=90°，∠BDC=45°，∠DBC=30°.

此時只需對△DBC進行分析即可，得到BC=12，所以AB=12.

利用直徑所對的圓周角是直角

的條件生圓

例2 如圖5，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是邊AB上的動點，Q是邊BC上的動點，且∠CPQ=90°，求線段CQ的取值范圍.

利用四邊形對角互補生圓

例3 如圖7，在矩形ABCD中，AB=6，以點B為直角頂點作等腰直角三角形BEF，連接AE，AF，當AE⊥AF且AE︰AF=1︰2時，AE的長是多少？

解析 由∠EAF+∠EBF=180° 可得點A，E，B，F四點共圓，再結合托勒密定理可以得到AB·EF=AE·BF+BE·AF.

設AE=x，代入得到方程

同底同側張等角生圓

例4 如圖8，在△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，∠A=60°，求證：BC=2DE.

類似以上這樣的，表面上純屬直線型問題，但利用直線型的有關知識解答會很繁雜，甚至有的很難找到解決問題的思路和途徑. 但如果對題設進行認真分析，仔細觀察圖形，便可挖掘題設中所蘊含的內在條件，提取相關條件，巧添輔助圓，溝通與圓的內在聯系，調取圓內的相關圓冪定理和性質，為解題提供了新的途徑，把圓的有關性質在解題中進行運用，可化繁為簡，化難為易.