強化幾種意識 破解向量最值問題

郭建華+于健

摘 要：學生遇到較靈活的向量最值問題時還是會出現思維受阻的情況.教師在教學中應該強化六種意識，幫助學生形成向量解題意識，突破向量最值問題的解題“瓶頸”.同時引導學生總結提煉向量最值問題中所蘊含的數學思想方法，讓學生進一步理解和把握變量分離法、數形結合方法（基于幾何表示的幾何法，基于坐標表示的代數法）、方程思想、化歸與轉化思想方法的實質，積累解題經驗，發展思維能力.

關鍵詞：意識；向量；最值問題

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種有效工具，有著極其豐富的實際背景.平面向量是高考考查的重點知識之一，特別是與最值相關的題目，更是備受命題者的關注. 其設計精巧、入口寬、解法靈活，可有效考查學生用向量的語言和方法表述和解決一些問題，同時也發展學生的運算能力以及分析問題、解決問題的能力.但學生遇到較靈活的向量最值問題時還是不知所措，思維受阻，錯誤率高.筆者認為在平時的教學中應該著重培養學生的“幾種意識”，讓學生形成“向量思想”，以此突破向量最值問題.下面筆者試舉例加以分析.

一、 “坐標”意識

所謂“坐標”意識，是指通過構建直角坐標系，將向量改用坐標表示，將要求解的目標轉化為代數問題來處理的一種思維方式. “坐標法”是解決向量問題的一條重要途徑，依據題設條件中所給的等邊三角形、直角三角形、矩形等特殊圖形，很容易想到建立直角坐標系求解.其優點是思維方式比較“固定”，學生很容易掌握[1]3.關鍵是合理建立直角坐標系，準確求出關鍵點的坐標. 特別是處理與向量相關的最值問題時，若利用向量和函數的相關知識求解使得運算復雜，解題過程較煩瑣時，則可以考慮用“坐標法”來嘗試一下，會達到事半功倍的效果.

評析 充分利用平面幾何圖形的幾何特征，恰當建立直角坐標系，將幾何問題坐標化，轉化為代數問題求解，突出了問題求解的通性通法.通過引入參數和坐標運算，立即得目標函數，進而將問題轉化為求函數的最值問題.這樣求解可以大大降低思維難度，同時也能起到化難為易的效果.

二、“基底”意識

所謂“基底”意識，是指有預見性地選擇適當的“基底”，并用“基底”來表示有關向量，以實現化歸的一種思維方式.“基底”意識的本質是平面向量基本定理的靈活運用，難點是如何選擇“基底”有利于簡化運算[1]4.對于處理與向量相關的最值問題時，適當選擇基底，將未知向量用基底表示，再進行線性運算，將幾何問題代數化，會使復雜問題簡單化.

三、“投影”意識

所謂“投影”意識，是指能自覺運用向量的“投影”來解決實際問題的一種思維方式.其 實，它是對向量數量積本質的理解和把握.向量的數量積是向量知識中非常重要的核心知識，但許多學生對它的掌握往往只停留在膚淺運用的層面，只會機械地套用公式[1]1，缺乏對公式中隱含的“本質信息”——向量“投影”的意義和價值的認識.要想讓學生較深刻地理解和把握向量數量積的概念，必須強調對向量“投影”概念的理解與應用.即讓學生理解數量積a· b的幾何意義：數量積a· b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影 |b|cosθ的乘積.利用投影意識處理與向量相關的最值問題，則可以回避煩瑣的代數運算.

四、“構造”意識

“構造”法解題對學生的思維能力要求較高，是指通過對試題結構特征的分析，聯想以前做過的熟悉的題型，對原題進行重組、推廣、替換等，使其變成一個情景新穎、處理方法常規的問題.所謂向量中的“構造”意識，是指在一個含有向量關系的等式兩邊同時“點乘”一個恰當的非零向量，把含有向量關系的等式轉化為代數方程，“點積”的對象要依據題意適當的選擇，才能達到求解的目的.因此，加強“構造”意識的培養可以提升學生思維的廣闊性和解題的靈活性.

評析 抓住要求解的目標，利用向量數量積將題設中向量等式“量化”，讓目標中x，y的代數結構特征凸顯出來，使得解題具有思路清晰、方法簡捷、趣味性強等特點.加強這種解題意識的培養，對培養學生的創新性大有益處.

五、“幾何”意識

六、“特殊”意識

所謂“特殊”意識，是指當已知條件中含有某些不確定的量，但結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值（或特殊角、圖形的特殊位置、特殊點、特殊模型等）進行處理，從而得出探求結論的一種思維方式.特別是對于求解與向量相關的最值問題，這樣可大大地簡化推理、論證的過程，加強“特殊”意識解題，對提升學生的解題速度和準確度有一定的幫助.

評析 結合已知條件，將已知圖形特殊化為直角梯形，題目就顯得更容易解決了.

學習的本質是學生將信息與頭腦中的已有信息重新整合、建構的過程.對于求解與向量相關的最值問題，平時訓練時要抓住題目的本質和特征，引導學生展開積極的思維活動，尋找問題解決的突破口、切入點，更應該拓展學生思維的廣度和深度，引導學生深入理解數學知識和方法，真正做到既知其一更知其二，最終揭示問題的本質.只要不斷積累解題經驗，形成“向量思想”，多角度審視問題，便會使問題迎刃而解.

參考文獻：

[1]盧明.平面向量復習要強化“五種意識”的培養[J].中學教研（數學），2014（4）.

[2]郭建華，孫西洋.重視借題“發揮” 提高學生學習效能[J].中學教研（數學），2015（12）：7.