中考數學探究題解析及類型分析

張宇鑫

摘 要：探究題具有很強的綜合性，它考查學生基礎知識的同時也考查學生靈活運用數學知識與解決問題的能力.探究題種類煩雜，因此教師要對其進行分類，充分了解各類型的特點，并指導學生有針對性地解答，從而提高學生解答探究題的能力.

關鍵詞：初中數學；探究題；開放型；新信息型；存在型

初中畢業和高中階段招生數學考試是數學課程的重要組成部分，直接反映數學課程設計和數學課程內容的新思想、新理念，是反映數學教育質量的一個重要因素.縱觀歷年各省中考數學試卷，探究問題出現的頻率很高，而且探究題知識面的覆蓋越來越廣，具有很強的綜合性，在考查基礎知識的同時也檢驗學生靈活運用數學知識與解決問題的能力.

探究題類型比較煩雜，以問題表現形式來分，大致可歸類為開放型、新信息型、存在型等.本文以2015年浙江各地探究題為例，從探究題的類型特征及解析特點出發進行一些探討，為教師和學生提供一些借鑒.

一、開放型探究題

開放型探究題按題型結構分為條件開放型、結論開放型與策略開放型.此類探究題注重考查學生思維的嚴謹性和培養發散思維的能力.

例1 （2015年紹興卷）正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，連結DF，BF，如圖1.

（1）若α=0°，則DF=BF，請加以證明，如圖2；

（2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題；

（3）對于（1）中命題的逆命題，如果補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由.

評析 第（3）小題屬于條件開放型探究題，題目中要求補充一個條件，使得（1）中命題的逆命題成立，即若DF=BF，則α=0°.處理此類問題的手段應以逆向思維為宜，正方形AEFG繞點A順時針旋轉的過程中，我們只需關注F點，其在以AF為半徑的圓弧上運動.顯然存在兩種情況，如圖2，圖3，使DF=BF.那么我們得補充一個條件用來限制圖1這種情況.圖2和圖3的差別在于F點的位置，即可補充F點在正方形ABCD內的條件；若從α角度方面考慮，圖3情況下α為180°，即可提出α<180°的條件.

二、新信息型探究題

在新課標改革不斷向前推進的形勢下，新信息型探究題逐漸成為考查中的亮點，這類題目通常都會出現一些新的概念、規則、運算等，如何理解和運用題中提供的新信息是處理此類問題的關鍵.2015年嘉興卷的“等鄰邊四邊形”、寧波卷的“智慧角”、臺州卷的“勾股分割點”都屬于新信息探究題.

例2 （2015年嘉興卷）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）概念理解

如圖4，在四邊形ABCD中，添加一個條件，使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”，請寫出你添加的一個條件.

（2）問題探究

①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由；

②如圖5，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠B的平分線BB'方向平移得到△A'B'C'，連結AA'，BC'. 小紅要使平移后的四邊形ABC'A'是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段BB'的長）？

（3）應用拓展

三、存在型探究題

存在性探索問題歷來都是考查的重點，幾何與代數都有涉及.解決此類問題的一般思路為假設結論成立或存在.結合已知條件，建立數學模型，仔細分析，層層推進，如果能獲得相應的結論，則假設成立，如果出現矛盾則說明原假設并不成立.

例3 （2015年衢州卷）如圖7，在 △ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，動點P從A點出發，沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運動，動點Q從C點出發，以相同的速度在線段AC上由C向A運動，當Q點運動到A點時，P，Q兩點同時停止運動. 以PQ為邊作正方形PQEF（P，Q，E，F按逆時針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH.

（1）求tanA的值；

（2）設點P運動的時間為t，正方形PQEF的面積為S，請探究S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由；

（3）當t為何值時，正方形PQEF的某個頂點（Q點除外）落在正方形QCGH的邊上，請直接寫出t的值.

評析 第（2）問是典型的存在性問題，我們應先假設S存在最小值，在初中階段，求解最大值和最小值問題比較常用的方法是二次函數最值的運用，首先應想到用PQ的長度來表示正方形PQEF的面積，構造△PNQ，根據勾股定理得出PQ的長度，那么其正方形面積是一個含變量t的二次函數，建立函數模型，注意t的范圍，該函數對稱軸所在的點即為最小值.

筆者認為，以上分析對探究題教學有以下幾點啟發.一是要注重對學生思維能力的培養.探究性問題的條件往往不少，關鍵要引導學生仔細分析，分解問題，歸納解題步驟，只有分析透徹，掌握解題框架，遇見新的問題才能有所思.二是要注重學生良好閱讀習慣的養成.在日常的教學活動中，教師應避免唱“獨角戲”，要引導學生去閱讀課本和相關資料，培養學生自主學習的能力.三是要善于總結歸納.由于探究題基本作為壓軸題出現，難度較大，這就需要師生共同總結歸納，此類問題屬于哪種探究題，那么對于這種類型的題型，我們首先應想到什么，再想到什么，層層推進，久而久之，學生腦海里會形成一定的邏輯步驟，看到難題不至于毫無思緒.