數學教師對定義性概念教學的適應性研究

鞏子坤+李寧寧+汪勝

摘 要：通過對兩位高中數學學科帶頭人有關異面直線所成的角的概念教學研究發現，有的教師對于定義性概念教學，存在不適應的問題，沒有整體把握概念形成的大思路，沒有理清概念引入、形成、引出的邏輯脈絡.因此，教師在定義性概念教學中，要區分不同的概念類型，開展符合認知規律與數學邏輯規律的針對性教學.

關鍵詞：定義性概念教學；適應性；異面直線所成的角

一、 問題的提出

（一）研究的背景

實現課程改革目標的關鍵在于教師.有研究表明，現有高中數學教師的教學思想、教育技能與新課程理念還是比較接近的[1].但也有研究指出，從理論上講，新課程理念能夠為一線教師所接受，但是理念要轉化為行為，在課堂實施中不走樣，尚需一段時日.如今，阻礙改革順利進行的問題重心已經從理解“為什么”轉到了思考“怎么做”[2] .

以上研究，大都從宏觀的視角，探查了數學教師對課改的適應性，缺乏對于“怎樣做”的微觀思考.本文基于兩位數學教師“異面直線所成的角”課堂教學案例，微觀探查教師對概念教學的適應性.

（二）主要概念的界定

概念是對一類事物在數量關系和空間形式方面本質屬性的簡明、概括反映.按照加涅的分類方法，數學概念可以分成具體概念與定義性概念.

具體概念指一類事物的共同本質特征，這些特征可以直接通過觀察獲得.獲得具體概念就意味著能識別事物的“類別”.比如，通過對幾個三角形的觀察，獲得“三角形有三條邊，三個角，三個頂點”.

定義性概念指一類事物的共同本質特征，這些特征不能通過直接觀察獲得，必須通過下定義來揭示.定義性概念是對屬性及屬性間關系的言語陳述.比如，三角形的定義是“由三條線段首尾相接構成的封閉的平面圖形”.

（三）研究問題的闡述

異面直線是高中數學的核心概念[3].為了進一步刻畫該概念，必須引入異面直線所成角的概念.異面直線所成的角是定義性概念，定義性概念可以通過概念的形成來教學.定義性概念是怎樣形成的？教學環節中呈現的順序是否符合概念形成的認知規律？是否符合定義性概念定義的邏輯順序？教學用時能保證這些環節的順利展開嗎？

二、研究的設計

（一）理論基礎

數學概念的學習，主要有兩類過程，一是概念的形成，二是概念的同化.就概念形成而言（本研究主要涉及概念的形成），其實質是抽象出某一對象共同本質特征的過程.其一般過程包括：辨別、分化、類化、抽象、檢驗、概括、形成.

對于數學概念（或者原理）的學習，可以從以下三個維度進行分析：引入，即為什么、用什么樣的情境來引入概念；形成，即如何探究形成該概念；引出，一方面應用該概念解決問題，另一方面，該概念又引出了哪些新概念，如若引出了新概念，則該概念就成為了新概念引入的情境[4] .

（二） 研究對象

2015年上半年，來自浙江省內的30名高中數學帶頭人聚集一堂，開展主題為“數學課堂教學設計與實踐能力提升”的學習與實踐.這些教師的概念教學具有代表性.

本文的研究對象是兩位學科帶頭人，研究載體是異面直線所成角的概念教學.

（三）數據收集與分析

兩位教師于同一天，在一所省級重點高中，先后進行了“空間中直線與直線之間的位置關系”一節課的教學.我們進行了視頻拍攝，然后將這兩節課的視頻轉錄成文字.我們從定性、定量兩個維度，分析兩位教師的教學.定性的維度是教學環節亦即教學安排；定量的維度是教學環節的用時.

三、結果與分析

（一） 概念形成的順序、邏輯

1.教師A概念形成的順序（教師A概念形成的思路見圖1）

教師A：（學習了異面直線的概念后）認識異面直線，有兩個維度，一個是不平行，一個是不相交.要認識不平行的話，我們可以去認識平行.同樣的道理，要認識不相交，我們也可以從相交開始.同樣，要認識空間的幾何圖形，可以從平面開始.

（1）類比得到平行線的傳遞性

回顧平面中平行線的傳遞性；引出平行線的傳遞性公理（公理4）.

（2）直觀把握等角定理

教師A：以上介紹了公理4的簡單運用.理、定理引入的必要性體現得更加自然、順暢，其對于異面直線所成角的認識更加深刻、本質，對于思想方法的貫徹更加準確、清晰.

教師A對于定義性概念教學的大思路，本質上也是對教材的補充與完善.想一想，教材的思路是清晰的：引入公理4，潛在地說明了異面直線所成角的存在性，同時，為證明等角定理提供了鋪墊；類比引入、直觀感受等角定理；類比平面引入空間異面直線所成的角；思考說明角的唯一性.但是，要理解這樣的思路，要把這個思路轉化成學習的路徑、教學的設計，還是十分困難的[5].這個思路的中間，還有許許多多需要再加工的內容.

正如講一個故事，故事的情節、人物已經有了，但是，要把這個故事整體地聯接起來，要把這個故事的“起承轉合”處理好，還要下許多功夫.雖然，從公理4開始，是對異面直線這個具體概念、模糊概念的深入認識，但是，教材沒有交代清楚.當然，按照我們的理解，要對異面直線這個模糊概念有一個深入的認知，就需從兩個維度展開：不平行，從而有夾角，即有傾斜程度（所以，認知不平行就從夾角開始，這也許是對教師A教學思路的補充與完善）；不相交，就有距離（事實上，平行線距離的認知，就是這樣開始的.這些觀點與梁麗平的觀點不謀而合[6]）.由于教材中只介紹夾角，而不介紹距離，因而，如何串聯起上述內容，需要大的思路、大的智慧.進一步，公理4是引入了，但是由于教材中沒有用這個公理證明異面直線所成角的存在性，也沒有用這個公理來證明等角定理，因而，這個公理的作用是潛在的.如何理解并處理這個公理的作用，值得思考.

如此看來，在“起”——即引起異面直線所成的角概念，在“承與轉”——即公理4的引入與引出，等角定理的引入與引出，公理4、等角定理與所成角的概念的承上啟下，在“合”——即與異面直線的距離整合在一起，全面地、定量地認識異面直線的概念內涵，等等方面，教材的處理是有問題的，是模糊的.即教材沒有把“異面直線”這個故事寫好，教師所需要的劇本存在瑕疵，教師這位導演需要對教材再理解、再編劇，因而，教師要講好這部分內容就十分困難了.

（二）教材編寫建議

長方體是學習空間幾何最好的載體.教材在介紹等角定理時也是以長方體為載體的（如圖5）.為了說明兩個角的兩邊分別對應平行，除了兩角相等外，還有互補的情況，于是找了∠ADC和∠A1B1C1.但是這兩個角都是90°，可以說它們互補，但也可以說它們是相等，因此不能以此來說明等角定理.

我們可以采取另一種方法，仍然以長方體為載體（如圖6），添加輔助線A1F1和AF，使得A1F1∥AF，這樣∠A1F1B1和∠AFB的兩邊平行，兩個角相等；∠A1F1B1和∠AFC的兩邊也平行，而這兩個角互補.

參考文獻：

[1]邵婷婷，邵光華.新課程高中數學教師適應性研究[J].數學通報，2005，44（1）：15-18.

[2]鞏子坤，李忠如.數學教師對新課程理念的適應性研究[J].數學教育學報，2005，14（3）：67-71.

[3]馬寧.高中數學核心概念及其教學的調查研究[D]. 西安：陜西師范大學，2015.

[4]孫旭花.問題變式：中國數學教材問題設計之特色[J].數學教育學報，2012，21（3）：54-59.

[5]MALONEY A P， et al. Learning over time： Learning trajectories in mathematics education[M]. Charlotte， NC： Information Age Publishing， 2014.

[6]丘成桐，等.數學與人文（第一輯）[M].北京：高等教育出版社，2011.