在“逆過來”做中走向“有序”

蔡雯麗

【摘? ?要】基于數(shù)據(jù)分析觀念內(nèi)涵的深刻理解，“可能性”一課的教學重點可以指向“體會數(shù)據(jù)隨機”上。具體而言，在教學安排上通過摸球游戲一摸到底，逆過來做實驗，在實驗中觸摸數(shù)據(jù)，感悟大小，感受從“無序”的隨機實驗變成“有序”的統(tǒng)計規(guī)律，最終形成隨機觀念并體驗統(tǒng)計規(guī)律性，達到體會數(shù)據(jù)隨機的目的。

【關鍵詞】可能性;實驗操作;數(shù)據(jù)隨機

一、“實驗必不可少”——厘清教材編寫意圖，定調(diào)實驗操作

對于“可能性”這一內(nèi)容，人教版老教材中分兩次編排：一次是在三年級上冊，讓學生初步體驗有些事件的發(fā)生是確定的，而有些事件的發(fā)生是不確定的，知道可能性大小和數(shù)量有關，能羅列出事件發(fā)生的所有可能性。

三年級上冊

第二次是在五年級上冊，讓學生在三年級基礎上深化，從定性向定量過渡，不但能用恰當?shù)脑~語來表述事件發(fā)生可能性的大小，還要學會用分數(shù)的形式來表示事件發(fā)生的概率。

五年級上冊

在新教材中，這一知識明顯有兩個變化。

1.內(nèi)容后移，合二為一：從兩個階段的教學變?yōu)橐粋€階段的教學，集中安排在五年級上冊進行教學。

2.難度下降，重視隨機：三個例題承載的教學目標不同，但是毫無疑問，對于“用分數(shù)表示事件發(fā)生的概率，能計算一些簡單事件發(fā)生的可能性”已不做要求，而對“體驗隨機事件”這一目標做了明確的要求。

【思考分析】

為什么會有這兩個變化，對于“可能性”教學有什么指導意義？我們不難發(fā)現(xiàn)，無論新舊教材，例題都以“活動”展開，因此在“可能性”教學中，實驗必不可少！實驗的目的是什么？作為一節(jié)統(tǒng)計與概率領域內(nèi)容的課，課標中明確提出一個核心詞：數(shù)據(jù)分析觀念。即了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊含著的信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法;通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。

設計合理的實驗，從而達到“體會數(shù)據(jù)隨機” 的目的，這就是筆者在“可能性”中設計實驗操作的出發(fā)點！

二、“逆過來”做——基于前測學情分析，確定實驗操作方式

學生已有的認識和經(jīng)驗，對于數(shù)學新內(nèi)容的理解和認識，具有至關重要的作用。對于“可能性”需要達成的目標，對于“數(shù)據(jù)隨機”，學生到底已經(jīng)站在了一個怎樣的起點上呢？為了找準學生學習的真正起點，我們對五年級學生進行了前測（共 138人）。

【前測內(nèi)容】

【前測結果】

【思考分析】

數(shù)據(jù)隨機，它包含兩方面的意義：一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的;另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)，就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

1.觸摸數(shù)據(jù)，讓數(shù)據(jù)說話。從前測調(diào)查可見，對于小學階段唯一一次概率教學的可能性知識，學生對于用“一定”“可能”“不可能”描述簡單隨機現(xiàn)象以及可能性大小與數(shù)量有關沒有困難，那么設計實驗時需要注意什么？實驗的目的不應只是學生原有生活經(jīng)驗的展示，更應該是學生數(shù)學思考的發(fā)展！我們需要引導學生通過蘊含隨機現(xiàn)象的實驗過程，在實驗中逐步感受隨機現(xiàn)象的特點， 體會相應的思維方式，積累學習經(jīng)驗。引導學生從數(shù)據(jù)的角度看待可能性大小，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)分析問題的習慣。

2.“逆過來”做，感受規(guī)律性。從前測中我們可以發(fā)現(xiàn)，學生對于隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的理解有困難，那么這就是本節(jié)課實驗的重點目標。為了達到這一目標，我們嘗試“逆過來”做實驗，即不知道袋中球個數(shù)的情況下進行摸球?qū)嶒灒玫綌?shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)不斷增加的情況下，結果呈現(xiàn)一定的規(guī)律，利用規(guī)律，學生對袋中球的情況進行科學合理的推斷。

三、“一摸二放三再摸”——分步推進實驗操作，體驗隨機觀念

基于學生的學情分析，將教材例題合理整合，設計合理的實驗操作，配以有效的引導，我們或許可以這么做：

[解構1][解構2][解構3][對于“隨機”已有的了解][感受有“隨機”那么回事][體會“隨機”規(guī)律要多次實驗][應用“隨機”發(fā)現(xiàn)規(guī)律][重建]

在“足夠多的數(shù)據(jù)”實驗中合理進行引導，將學生的思維從數(shù)據(jù)的“無序”狀態(tài)引入數(shù)據(jù)的“有序”狀態(tài)，感受規(guī)律性，體會數(shù)據(jù)隨機的思想，更好地發(fā)展統(tǒng)計觀念。

思考一：一摸，觸摸“隨機”，體會“無序”

【教學片段】出示游戲規(guī)則

要求：誰來摸一摸，看看能不能獲獎？

3名學生都摸出藍球。

提問：看來大家運氣都不太好，摸到現(xiàn)在，你有什么想說的？

生：袋子里藍球有很多。

生：老師太賴皮了，有可能一個黃球都沒有。

師：看來同學們對袋子里的球有疑問，想看嗎？

（球一個個拿出來，5個藍球）

師：現(xiàn)在你又有什么想說的？

生：都是藍球，怎么可能拿出黃球呢？

生：怎么摸都摸不到獎品。

師（小結）：是呀，袋子里都是藍球，所以摸出的球一定是藍球的，也就是說不可能摸到黃球。看來，抽獎箱里只有藍球的時候，摸一個球它的結果是確定的。這樣摸獎公平嗎？現(xiàn)在我放入黃球（一個一個放，袋中共5黃5藍），搖均勻，現(xiàn)在你們覺得公平嗎？

生（齊聲）：公平。

師：采訪你一下，你希望摸到什么顏色的球？一定能摸到嗎？那就請你摸一摸吧！（生摸到黃球）

師：再請一個學生來摸一摸，他會摸到什么顏色的球呢？一定是黃色嗎？

生：可能是黃色，也有可能是藍色。

師（小結）：通過剛才的摸球游戲，我們發(fā)現(xiàn)當箱子里有藍球、有黃球時，摸一個球，會有兩種結果，可能摸到藍球，也可能會摸到黃球。能確定嗎？（板書：不確定）

【思考分析】

實驗是否需要做？這是筆者首先思考的問題。基于學情，學生知道結果的確定性與不確定性和袋中球的顏色有關，那么實驗還有沒有做的必要性呢？張丹教授曾指出：一部分學生對統(tǒng)計數(shù)據(jù)不敏感，一個重大原因就是相關實驗做得太少，沒有經(jīng)驗積累。在小學階段設置簡單的“概率”內(nèi)容，主要是為了培養(yǎng)學生的隨機思維，讓學生學會用概率的眼光去觀察大千世界，而不僅僅是用確定的思維方式去理解事物。基于“概率”知識的本性和學生隨機思想的發(fā)展，實驗是必要的！

“隨機”，通俗地說，就是實驗結果誰也不知道下一次是什么，但經(jīng)大量實驗后其結果又有點規(guī)律。要讓學生知道有“隨機”這么件事兒，但是并不隨人的意念，即不管多想摸黃球，摸到黃球和藍球皆有可能，不能確定。

從建構主義的立場出發(fā)，學習并非一種機械的、高度統(tǒng)一的過程。第一次摸球?qū)嶒灒康耐Ａ粲凇半S機”“不確定”層面，經(jīng)歷“躍躍而試的沖動”→“對袋內(nèi)裝球的懷疑”→ “知道袋中球后理性地嘗試”的過程，從確定思維到不確定思維，引導學生走向?qū)Α半S機”的認識，明白“隨機”的那么件事兒。在第二輪嘗試摸球的實驗中，讓學生進行預測分析，明白結果是不確定的，但是不確定中還存在著一定的數(shù)學規(guī)律。這樣就使摸球游戲不僅是一次游戲，更多的是進行數(shù)學學習的一個材料，經(jīng)歷從生活經(jīng)驗走向數(shù)學本質(zhì)的過程。充分感受不確定事件是可以重復發(fā)生的，雖然摸到的都是黃球，但是是哪一個黃球不確定，在一個個實驗中觸摸“隨機”，體會“無序”。

思考二：二放，創(chuàng)造“隨機”，感悟“大小”

【教學片段】

師：請你自己來設計一個抽獎游戲，和同桌說一說你會怎么放球。

交流：這么多情況，能用上剛才學到的“可能”“一定”“不可能”來評價一下嗎？

生1：10藍，一定能摸到藍球，不可能摸到黃球。

生2：10黃，一定能摸到黃球，不可能摸到藍球。

生3：其他幾種情況，有可能摸到藍球，也可能摸到黃球，不確定。

師：這么多方案，如果是你，你會選擇哪個方案來抽？說說你的想法？

生1：我會選擇1號方案，這樣我就一定能中獎了。

師：他是從誰的角度考慮的，如果老板，他同意嗎？

……

師小結：看來都關注到了黃球和藍球的個數(shù)，認為個數(shù)多的，摸到的可能性就大，個數(shù)少的，摸到的可能性就小。

【思考分析】

實驗如何進行到底？實驗必須做，不可能是把幾個實驗做一個簡單的加法，那么如何將摸球?qū)嶒灥那榫池灤┦冀K，在實驗不同環(huán)節(jié)達成不同的目標，真正做到一摸到底呢？五年級學生的思維處于形象思維逐步向抽象思維過渡的發(fā)展階段，在可能性概念教學中，重視直觀性、感知、體驗，無疑是必要的。但如果止步于對事物的感知，忽視對概念本質(zhì)特征的抽象與概括，這樣做實際上低估了學生的學習能力，勢必影響其抽象能力、概括能力和推理能力的發(fā)展。

這個實驗環(huán)節(jié)，讓學生自己來設計游戲，并且用上“可能”“一定”“不可能”來描述實驗結果，進一步感受不確定現(xiàn)象。自己設計如何放球，關注的焦點是探索活動中摸球的規(guī)律，是不確定現(xiàn)象的一個數(shù)學模型，經(jīng)歷對隨機經(jīng)驗進一步豐富的過程，為后面學習概率大小的規(guī)律性埋下基礎。生活中充滿了數(shù)學問題，但不是所有的問題都是數(shù)學問題。只有對生活中的現(xiàn)象進行抽象、推理、再創(chuàng)造，才能成為數(shù)學問題。“如果你是顧客，你會選擇哪個袋子？”“如果你是老板呢？”學生在這樣的角色代入中圍繞可能性大小進行探討，各抒己見，是對隨機現(xiàn)象的再次解讀，學生在自主創(chuàng)造“隨機”的過程中，感悟“大小”。

思考三：三摸，摸出“規(guī)律”，走向“有序”

【教學片段】

引導：這里有一個袋子，按同學們剛才設計的方案放球，不直接打開袋子看，我們怎么做，可以比較準確地猜出黃球和藍球誰多誰少呢？

生：一個一個摸出來。

生：多摸幾次看看。

（師呈現(xiàn)PPT要求）

第一次猜測：從你們組摸出的黃球和藍球個數(shù)來看，你們的猜測是怎樣的？為什么這么猜？

師：有11個小組匯報了發(fā)現(xiàn)，你有什么想說的？

師追問：有什么辦法可以進一步提高猜測的準確性？

第二次猜測：根據(jù)12個小組摸球的結果，你們小組現(xiàn)在的猜測是怎樣的？為什么改變主意了？

第三次猜測：如果想要多看幾組數(shù)據(jù)，讓實驗的結果更準確一些，我們怎么操作？

電腦模擬實驗：

思考：我們已經(jīng)模擬了3次摸球1000次的結果，看著這個摸球結果，現(xiàn)在你們的猜測是怎樣的？而且你們能不能大膽猜測一下，可能黃球有幾個，藍球有幾個？

師：到底怎么樣呢？最終還得——把袋子打開看看。

師（提問）：通過剛才的實驗過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師（小結）：雖然每一次摸到的球的顏色不確定，但是黃球被摸到的次數(shù)多，說明它被摸到的可能性就大，可以推斷出袋子中黃球的數(shù)量比較多。摸的次數(shù)少，可能會發(fā)生意外，但是實驗次數(shù)越多，我們的猜測就會離真實情況越來越接近。

【思考分析】

實驗如何操作？在這個過程中，一般有兩種操作方法，一種是正向做實驗，即給出袋中藍球黃球個數(shù)，驗證可能性大小，用實驗去驗證猜測;一種是逆過來做，也就是筆者在本節(jié)課中所采取的方式。不正向地給出袋中球的數(shù)量，通過實驗從數(shù)據(jù)中獲取信息，對總體作出推斷。

史寧中教授在《“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學建議》這篇文章中提出：對于先給出定義，教師往往比較習慣，而對于“逆過來”通過數(shù)據(jù)來進行推斷，教師往往比較陌生。舉個例子：一個袋子里有5個球，4個白球、1個紅球，如果讓學生通過摸來驗證出現(xiàn)白球的可能性是[45]、出現(xiàn)紅球的可能性是[15]，這不是統(tǒng)計。統(tǒng)計是這樣的，告訴學生袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的，讓學生去摸，摸到一定程度的時候，學生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時候，能夠估計出來幾個白球和幾個紅球。這才是統(tǒng)計的過程。

課堂中我們可以看出學生對實驗操作、數(shù)據(jù)分析的理解仍然處于“用確定性思維代替不確定思維”的階段。學生對于實驗次數(shù)增加會提高推斷可靠性的認識還是比較缺乏的，所以怎樣在“足夠多的數(shù)據(jù)”實驗中讓學生感受到猜測規(guī)律是我們要解決的問題。

因為數(shù)據(jù)是隨機的，用部分的數(shù)據(jù)進行估計有時可能會估計得準一些，有時會偏差很大，三次猜測讓學生體會這種推斷并不是“瞎猜”，而是在足夠多的實驗過程中找到一定的規(guī)律。三次猜測循序而進，體會在次數(shù)足夠多的情況下，讓學生充分感受到“隨機”過程中的規(guī)律：多次重復實驗中其出現(xiàn)的頻繁程度就是一件事情出現(xiàn)的可能性大小。通過這一實驗過程，學生從模糊地猜到有根據(jù)地進行推斷，體現(xiàn)了統(tǒng)計的思想，深刻感悟隨機現(xiàn)象的特點，摸出“規(guī)律”，走向 “有序”。

課堂實驗的目的——形成隨機觀念并體驗統(tǒng)計規(guī)律性。通過摸球游戲一摸到底，在實驗中感受從“無序”的隨機實驗變成“有序”的統(tǒng)計規(guī)律！

（浙江省杭州市學軍小學之江校區(qū)? ?310024）