表達素養：數學核心素養培育的“風向標”

徐文文

摘 要：表達素養是學生數學“核心素養”的重要組成部分，是數學“核心素養”的外顯標識。數學表達的實踐樣態有直觀動作、具體形象和抽象符號。在數學教學中，動作、形象和符號，是形成學生表達素養的現實路徑。數學表達能夠增進學生對數學知識的理解，強化學生數學技能，內化學生數學思想，改善學生數學學習生態。

關鍵詞：數學教學；核心素養；表達素養

發展學生數學“核心素養”，是當下數學教學的應然追求。數學“核心素養”的內涵是十分豐富的，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析。學生的數學核心素養是如何展現的？其核心素養的外化表現是什么？筆者認為，學生的數學表達力是一個重要的表征。數學表達能夠增進學生對數學知識的理解，強化學生的數學技能，內化學生的數學思想，改善學生的數學學習生態。

一、數學表達：核心素養外顯的樣態標識

語言是思維的外顯形式和載體，它是簡化、壓縮了的數學思維。借助語言，學生不僅能夠進行表達，而且能夠進行交往。在數學學習中，學生的表達是豐富的，比如學生可以借助動作進行表達，可以借助圖形進行表達，可以借助符號進行表達。教學中，教師要引導學生進行主動表達，跟進學生表達。通過表達，促進學生數學“核心素養”的發展。

1. 直觀動作樣態的表達

在數學表達中，學生的直觀動作表達是常見的，尤其是低年級學生的數學表達更是如此。所謂“直觀動作”，是指學生在數學學習中用一定的身體動作（包括比畫、演示、操作等）來表達并傳遞某種信息。直觀動作樣態的表達具有直觀性、互感性、釋義性和情趣性。通過直觀動作樣態的表達，學生能將數學知識中最隱蔽、深刻的內涵彰顯、敞亮出來。比如學習“認知周長”時，學生對“邊線”的比畫；學習“長方形的面積”時，學生對“平面大小”的比畫；學習“認識厘米”時，學生對“厘米”長度表象的比畫；行程問題中，學生對運動方式、時間等的表演等。直觀動作樣態的表達能構筑立體化、多元化、情趣化的對話空間，促使學生數學理解走向深入、深刻。

2﹒ 具體形象樣態的表達

著名數學家華羅庚先生說，“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休”。學生在數學學習中，其思維由具體形象向抽象邏輯過渡，離不開形象的支撐。所謂“具體形象”，主要就是借助具體圖形（包括實物圖、示意圖、線段圖、集合圖等）進行學習。通過圖形樣態的表達，學生能將抽象的數學問題直觀化，將自我的思維可視化。比如“分數應用題”中“單位‘1的量和單位‘1，比較量和分率之間的對應關系”，就必須借助直觀的線段圖才能讓學生獲得理解。再比如“乘法分配律”，可以借助長方形的面積圖來進行詮釋。通過形象樣態的表達，學生能夠將抽象的數學問題、看不見的思維過程及方法清晰地呈現出來。

3﹒ 邏輯符號樣態的表達

數學家第爾曼曾說過：“數學是語言的語言，通過數學，自然界在論述；通過數學，世界的創造者在表達；通過數學，世界的保護者在講演。”在數學學習中，學生借助數學邏輯樣態的符號進行表達，能夠發展學生的符號化思維能力。數學符號具有抽象性、概括性、簡約性、包攝性等特質。比如“間隔排列”問題，當學生在擺學具、畫圖之后，教師要引導學生進行概括，用抽象的符號表征中間物體和兩端物體之間的關系；又比如概括正反比例關系式xy=k（一定）和y÷x=k（一定），用數對（x，y）確定位置等。這些邏輯符號樣態的表達，能夠催生學生的符號想象，激發學生的符號思維，進而豐厚學生的數學“核心素養”。

二、數學表達：核心素養培育的路徑觀照

學生數學表達能力的培養是一個循序漸漸、序列化的系統過程。在學生運用語言對數學知識進行表達的過程中，教師要加強指導。提升學生數學表達能力的過程，也就是培育學生數學高階思維的過程。聚焦學生的數學表達，教學中教師要引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，從而通過數學表達，讓學生的數學“核心素養”發展落地生根、開花結果。

1. 動作表達：在直觀中發展核心素養

動作表達，主要是學生借助操作、實驗、手勢等對數學知識進行表征。動作表達，一方面能讓學生內隱的思維外化出來；另一方面，有助于增進同伴的理解。通過動作表達，積累學生感性經驗，發展學生直觀想象力。在這個過程中，教師要注重融通學生的思維和想象，打通學生感性與理性的通道。

例如：教學《千克和克》（蘇教版小學數學教材三年級下冊），部分學生對千克這樣的一個質量概念的認知容易受到體積概念、密度概念的影響，如他們總是認為1千克鐵比1千克棉花重。基于此，筆者在教學中讓學生從家中帶來了鐵和棉花，用天平進行直觀演示，讓學生直觀感知相同質量的棉花和鐵，體積不一樣，但天平能夠保持平衡。這樣的教學，有助于學生理解數學知識的本質。再如：教學《相遇問題》（蘇教版小學數學四年級下冊），學生用兩只手，手心對手心，表示相向而行；用手背對手背，表示相背而行。而無論是相向而行還是相背而行，其數學本質都屬于“相遇問題”。又如：教學《年、月、日》，對于平年和閏年的規律，引導學生借助拳頭，凸起的地方是大月，凹下的地方是小月，這樣有助于學生記憶。動作表達，讓學生在直觀中理解數學，積累學生的感性經驗。

作為一種無聲的語言，直觀化的動作豐富而靈動、微妙而富有趣味，簡約而不簡單。有時候，學生的動作猶如一個信息發射塔，能夠讓知識的內涵、意蘊在悄然間得以心領神會。借助動作，能夠為學生打開一扇理解數學的窗戶，讓數學課堂的有聲語言和無聲語言相得益彰。

2﹒ 圖形表達：在形象中發展核心素養

圖形表達是一種感性化的表達，具有形象性、易理解性特質。數學學習中的圖形主要包括“示意圖”“流程圖”“統計圖”“網絡結構圖”或“思維導圖”等。在數學教學中，我們可以根據實際情況，選取合適的圖形，用以進行形象化的表達。實踐證明，圖形表達能夠化抽象為直觀。將抽象的、復雜的數學問題（包括算理、推理、題意、意義等）直觀、形象地畫出來，能助推學生的數學理解，激活學生數學創造。

例如：教學《分數乘分數》（蘇教版小學數學教材六年級上冊），教師可以借助長方形圖，引導學生理解算理。如×，教師可以引導學生首先把一個長方形看作單位“1”，平均分成5份，表示這樣的3份，涂色表示出來；然后將這3份作為一個整體，看作單位“1”，換個方向平均分成5份，表示其中的2份，涂上雙陰影。這樣，就相當于將整個長方形看作單位“1”，平均分成25份，表示這樣的6份。借助這樣的長方形圖，學生能夠深刻地理解“分數乘分數”。這樣的可視化教學，讓抽象的算理變得形象，讓枯燥的法則變得生動。學生不僅理解了數學知識，更增進了對數學知識的親近感，讓數學教學變得事半功倍。

數學家拉格朗日說：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但當這兩門學科結合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美。”可視化圖形是教師了解學生思維水平、方向和動態，表征抽象的數學知識的最好的載體。通過形象化的圖形，數學的抽象知識看得見、摸得著，學生的數學思維能夠獲得可視化支撐。

3﹒ 符號表達：在抽象中發展核心素養

相較于直觀動作表達和具體形象表達，數學符號的表達更具有數學的規范性、嚴謹性、邏輯性。符號既是一種數學語言，也是一種數學工具，更是一種數學方法。符號的經歷、體驗、運用等應該貫穿于學生數學學習的始終。如果說，動作是在直觀中、圖形是在形象中發展學生的核心素養，那么，符號表達就是在抽象、推理中發展學生的核心素養。

例如：教學《數的奇偶數》（蘇教版小學數學五年級下冊），對于“奇數+奇數=奇數”“奇數+偶數=奇數”“偶數+偶數=偶數”等如何證明呢？有學生用舉例（假設）的方法來進行判斷，但始終不能認識到這樣運用的數學本質。基于此，筆者在教學中運用符號進行表達，引導學生的數學認知向縱深推進。如“（2n+1）+（2n+1）=4n+2”“（2n-1）+（2n-1）=4n-2”“（2n+1）+（2n-1）=4n”，這樣的符號化運算，形成了學生獨特而深刻的理解。有學生認為，正是從第一個奇數中拿出1，再從另一個奇數中拿出1，將這兩個1合成2，所以和是偶數；有學生認為，從第一個奇數中去掉1，再從第二個奇數中去掉1，這樣兩個奇數就變成了偶數，偶數和偶數合起來還是偶數；有學生認為，從第一個奇數中拿出1去補充第二個奇數，所以兩個奇數都變成了偶數，即兩個奇數相加的和是偶數……

符號是人們進行數學表示、計算、推理和交流的工具。在數學教學中，教師要鼓勵學生使用符號表達信息，使用符號進行運算、推理。只有這樣，才能增強學生的符號化意識和符號化能力。通過數學符號，讓學生學會數學思考，為學生終身發展奠基。

數學表達素養是學生數學核心素養的重要組成部分。在學生表達素養生成過程中，教師要有清晰的培養目標、多樣的培植策略、持續的培育指導。通過數學表達，幫助學生建構對知識的理解，強化學生對技能的掌握，呈現學生的數學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程及數學問題解決的思路方案，不斷發展和提升學生數學“核心素養”。