核心素養理念下的數學教學設計

王冬晴　張榮延

摘 要：新一輪的高中數學課程標準修訂中，數學核心素養占據了重要地位，因此數學核心素養應貫穿于教學中的各個環節.文章在“方程的根與函數的零點”的教學設計中，以方程思想與函數思想相互轉化為指導，將數學核心素養的培養滲透到課堂教學中.

關鍵詞：核心素養；方程的根；零點存在性定理；教學設計

《普通高中數學課程標準》中指出數學核心素養分為六個方面：數學抽象、數學運算、數學推理、數學建模、數據處理、空間想象.在數學課堂教學中，培養學生的數學核心素養需要教師精心設計每個教學環節，筆者以“方程的根與函數的零點”為例，淺析核心素養理念下的數學教學設計方法.

一、教學設計思路

本節課選自普通高中課程標準實驗教科書人教版必修一第三章第一節——第一課時方程的根與函數的零點，主要內容是函數零點的概念、函數零點與方程的根的關系、零點存在性定理.函數與其他知識具有廣泛的聯系，而函數的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同的角度，將數與形，函數與方程聯系在一起，本節課教學重點為零點的概念，體會函數零點與方程的根之間的聯系；教學難點為對零點存在性定理的理解與應用.學習本節課為下節“用二分法求方程的近似解”和后續的學習奠定基礎.

本節課的設計思路是：1）從HPM的視角引入新課，引導學生在函數與方程之間建立聯系.在這一過程中，可以培養學生數學邏輯推理能力.2）從特殊到一般，引導學生自己得出函數零點概念、方程的根和函數圖象與x軸交點橫坐標之間的關系，在該環節中，可以培養學生數學抽象能力和直觀想象能力.3）根據函數圖象探究滿足什么條件，函數存在零點.此處應培養學生形成數學抽象素養.4）學生歸納出零點存在性定理后，教師引領學生實際操練，應用零點存在性定理解決問題，使學生學以致用、鞏固新知，同時為下節“二分法”這一數學運算奠定基礎.

二、教學過程設計

教學基本流程：問題導入 建構零點概念 探究零點存在性定理 應用零點存在性定理 課后作業.

1.問題導入

問題1 求下列方程的根

1）

2）

3）

第1）小題 ，后面兩個小題不會.此時，老師引導學生，引用1824年挪威天才數學家阿貝爾成功的證明了五次及以上的方程沒有根式解這一數學史，將此過程巧妙過渡到本節課課題.接下來闡述現如今，高次方程求解方法有很多，今天我們探討其中的一個方法，從函數圖象角度來研究方程的根.

設計意圖 從HPM的視角來設計教學，激發學生的學習興趣，同時，在教學過程中潛移默化的豐富學生數學文化知識，同時引出本節課的研究內容，在方程無法求解的情形下，如何判斷根的情況.

2.建構零點概念

問題2 寫出函數 的圖象與x軸交點的坐標.

設計意圖 通過數形結合引導學生主動探究方程的根與函數圖象間的關系從數與形的角度方程的根在對應的函數中所具有的多重意義.在這一環節中，該函數圖象不要求學生畫出，應用學生已有的知識結構想象出函數圖象的具體形式，以培養學生的直觀想象素養.

零點概念：對于函數 ，我們把使 的實數x叫做函數 的零點.

練習1 判斷下列函數是否存在零點？

1）

2）

3）

問題3一般方程的根和其對應的函數零點之間有怎樣的關系？

方程的根與函數零點的等價關系 方程有實數根等價于函數 有零點，等價于函數 的圖象與x軸有交點.

設計意圖 由于函數的零點是新概念，所以為了避免學生與方程的根以及幾何概念中的點混淆，明晰三者之間的相互轉化關系.雖然它們有各自不同的特性，但反映的卻是共同的本質.在這一環節中培養學生的抽象概括能力.

3.探究零點存在性定理

問題4 滿足什么條件，函數存在零點呢？

先解決這樣一個問題，已知函數 在區間[-2，1]、[2，4]內有零點，計算 觀察乘積有什么特點.

設計意圖 在此環節中需要觀察圖象，在區間[-2，1]內，

和 一個在x軸上方，一個在x軸下方，區間端點值異號，并且圖象連續不斷的穿過x軸，圖象就與x軸有交點，所以函數

在區間（-2，1）內有零點.同樣的，在區間[2，4]內 和 一個在x軸上方，一個在x軸下方，區間端點值異號，并且圖象連續不斷的穿過軸，圖象就與x軸有交點，所以函數在區間（2，4）內有零點.在這一環節中培養學生數學運算能力，抽象概括地歸納出函數存在零點的條件.

零點存在性定理 如果函數 在區間 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數 在區間 內有零點，即存在 ，使得 ，這個c就是方程

的 根.

練習2 判斷下列說法，若否定，則舉出反例.

1）如果函數 在區間 上連續的，那么函數

在該區間上一定有零點嗎？

2）如果函數 在區間 上滿足條件 ，

那么函數 在該區間上一定有零點嗎？

3）如果函數 在區間 內有零點，那么該函數一定滿足 的條件嗎？

設計意圖 這三個問題有助于學生理解零點存在性定理的本質，明確定理中充分不必要的條件，有助于培養學生直觀想象與數學抽象的核心素養.

4.應用零點存在性定理

例1 1）判斷方程 根的個數.

2）若該方程的一個跟在 區間內，求出正整數

設計意圖 此例題解決了問題導入中遺留的問題，這一例題的解決進一步促進學生體會函數思想與方程思想的轉化，有助于培養學生的數學運算能力，同時為下節課“二分法”做了鋪墊.

5.課后作業

練習3 判斷方程 有幾個根？每個根所在的區間 內，求 的值.

設計意圖 本題讓學生應用零點存在性定理解決方程根的問題，進而培養學生較強的邏輯推理能力.

三、教學反思

本節課的設計有三個指導思想，分別是：方程與函數的轉化思想；作為下一節課的起始課；處理好數學抽象與直觀想象的關系.正如史寧中教授所指出的“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”.只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實現從思維的抽象發展到思維的具體，在思維中再現整體性和具體性，才能深入認識新概念新思想.掌握數學發展的基本規律，讓學生親身體會思維過程，必然會深刻影響其數學核心素養的形成與發展.

參考文獻

[1]喻平.發展學生學科核心素養的教學目標與策略[J].課程·教材·教法，2017，37（1）：48-53.

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[3]章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J].課程·教材·教法，2016，36（7）：44-49.