滲透數學模型思想 關注小學數學建模

龍鳳 高明

摘 要：數學建模是數學學科核心素養之一，其培養是一個循序漸進的過程，將數學建模思想引入小學教學有重要的意義和作用。本文以植樹問題為例，闡述教師如何引導學生從實際問題中抽象出具體的數學模型，以解決相關問題，幫助學生從小培養數學建模思想。

關鍵詞：建模思想；小學數學；應用

數學建模是將現實問題進行數學抽象，用數學知識與方法構建模型，以此來解決問題的過程，其本質是運用數學知識解決實際問題，它構建了數學與外部世界的“橋梁”，是應用數學思想、方法解決實際問題的重要手段，是推動數學發展的動力。

小學數學建模需要考慮小學生的年齡特征及其心理發展水平，教師應善于利用幾何直觀，鼓勵學生用數學語言、數學符號以及數學圖形描述問題。通常情況下，在小學階段，數學建模大致可以包括四個步驟：

模型應用模型構建驗模型求解問題抽象

下面以小學階段典型的植樹問題為例進行建模分析：

“植樹問題”是現實生活中常見的實際問題，主要涉及間隔數與棵數之間的關系，意在培養學生從問題中尋找規律的意識和能力，并在問題解決的過程中，逐步滲透數學建模的思想。

提出問題：植樹節到了，學校組織同學們要在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共需要多少棵樹苗？

分析和解答：

一、 形象展示，探索規律

教師先向學生展示現實生活中的一張綠化圖，引導學生觀察圖中（圖1）每兩棵樹之間，每三棵樹之間，……，樹的棵數與間隔數之間存在怎樣的數量關系？并且要求學生用線段圖的方式將樹與間隔的關系抽象出來：

觀察圖2，發現規律：每兩棵樹之間有1個間隔，三棵樹有2個間隔，四棵樹有3個間隔，五棵樹有4個間隔，……，棵數總比間隔數多1個（兩端都要栽）。

二、 歸納總結，構建模型

進一步觀察，歸納出棵數與間隔數之間存在的等式關系：

間隔數+1=棵數；棵數-1=間隔數

通過初步建立間隔數與棵數的模型，進一步讓學生意識到可以通過求間隔數來間接求出棵數，于是將問題轉化為求間隔數。

問題轉化：

①長100米的線段，每5米一個間隔，問有多少個間隔？

②在已知一段線段的長度以及間隔長的情況下，間隔數應用怎樣的等式關系表示？

鼓勵學生自行解決問題①：一共有100÷5=20（個）間隔

師生共同總結出問題②等式關系：間隔數=線段長度÷間隔長

歸納總結，得到最終模型：

間隔數=線段長度÷間隔長 間隔數+1=棵數；棵數-1=間隔數

三、 應用模型，解決問題

再次轉化，回歸初始問題：老師引導學生將“線段”替換成“小路”，每5米一個間隔看作是每隔5米種一棵樹，于是學生很容易得出長100米的小路上一共有20個間隔。這是問題解決的關鍵一步。

根據前面師生共同建構的模型：

間隔數=線段長度÷間隔長 間隔數+1=棵數；棵數-1=間隔數

學生可以自行求得一共栽種：20+1=21

四、 變式練習，鞏固提升

在問題的整個解決過程中，學生對植樹問題兩端都植樹的情況有了一定的建立數學模型的意識，老師可進一步對問題進行變形，鼓勵學生聯系兩端均要植樹的問題解決步驟自主建立模型解決問題。

變式1：同學們在全長為100米的路一邊植樹，每隔5米栽一棵（只植一端）。一共需要多少棵樹苗？

用線段圖的方式將樹與間隔的關系抽象出來：

通過圖3，發現規律：一棵樹1個間隔，兩棵樹2個間隔，三棵樹3個間隔，……，棵數總等于間隔數（只植一端）。

棵數與間隔數存在數量關系：間隔數=棵數

間隔數：間隔數=線段長度÷間隔長

總結歸納，得到僅一端植樹需要樹苗數的最終模型：

間隔數=線段長度÷間隔長 間隔數=棵數

利用模型解決問題：

①求間隔數：100÷5=20（個）

②求所需樹苗數：20（個）=20（棵）

變式2：同學們在全長為100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端均不植樹）。一共需要多少棵樹苗？

用線段圖的方式將樹與間隔的關系抽象出來：

通過圖4，發現規律：一棵樹2個間隔，兩棵樹3個間隔，三棵樹4個間隔，……，棵數總比間隔數少1個（兩端均不植）。

棵數與間隔數存在數量關系：間隔數-1=棵數 棵數+1=間隔數

間隔數：間隔數=線段長度÷間隔長

總結歸納，得到兩端均不植樹需要樹苗數的最終模型：

間隔數=線段長度÷間隔長 間隔數-1=棵數 棵數+1=間隔數

利用模型解決問題：

①求間隔數：100÷5=20（個）

②求所需樹苗數：20-1=19（棵）

變式3：同學們沿周長為100米的圓形綠化地植樹，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵樹苗？

變式3的圓周植樹問題是在前面兩個直線植樹問題變式基礎上的加深加難，但老師已經引導、鼓勵學生成功建立了直線植樹的一系列模型，學生對建立模型有了一定的實踐經驗，老師可以讓學生自行動腦思考，動手實踐，建立解決變式3的圓周植樹問題的數學模型。

同樣利用點線圖抽象出圓周植樹中間隔與棵數的關系：

通過圖5，發現規律：一棵樹1個間隔，兩棵樹2個間隔，三棵樹3個間隔，……，棵數總等于間隔數（圓周植樹）。

棵數與間隔數存在數量關系：間隔數=棵數 間隔數：間隔數=線段長度÷間隔長

總結歸納，得到圓周植樹需要樹苗數的最終模型：

間隔數=線段長度÷間隔長 間隔數=棵數

利用模型解決問題：

①求間隔數：100÷5=20（個）

②求所需樹苗數：20（個）=20（棵）

植樹模型的建立主要是需要學生觀察實際生活，在教師引導下學生利用點線圖抽象出樹與間隔的位置關系，得出植樹棵數與間隔之間存在的數量關系。這樣做不僅培養了小學生有意識的通過建模解決數學問題，更重要的是讓學生學會了用數學的眼光觀察世界，熱愛生活，樹立健全人格！

數學建模是數學知識與數學應用的橋梁，在小學數學教學中滲透數學建模的思想是可行的，但在教學中應做好：（1）加強幾何直觀，增強趣味性。小學數學教學具有特殊性，最主要的是它必須依據小學生的認知發展水平以及邏輯思維發展程度，需要更多地依靠生活經驗和幾何直觀。小學生活潑好動，教師對建模的原問題設計在依據學生的生活經驗以及結合幾何直觀的基礎上，要盡可能的使問題具有一定的趣味性，充分調動學生學習數學積極性，外部刺激與內部學習動機相結合，讓學生體味數學建模的魅力所在。（2）注重應用模型，注意變式拓展。數學是靈活多變的，但問題與問題之間又存在著一定的聯系。在利用模型解決問題時，適當地應用變式，將有助于培養學生應用數學模型的意識，提高學生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之八——模型思想（上）[J].小學數學教師，2014（12）：4-9.

[2]代金鳳.構建模型 提升能力 發散思維——例談小學數學中的“植樹問題”[J].呼倫貝爾學院學報，2012（03）：110-112.

作者簡介：

龍鳳，高明，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。