開拓學生思維 打造有效課堂

陳銀輝 范正鑫

[摘 要]提升課堂教學的有效性必須將精講精練落到實處.一題多解是開拓學生思維和提高學生興趣的有效方法，值得教師備課時關注.

[關鍵詞]開拓思維；一題多解；精講精練；有效課堂

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02002301

高中數學新課程標準指出：高中數學課程應該注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一.通過解題活動來提高學生的思維能力是數學教學的重要途徑.高三復習時間緊，課堂容量大，傳統的做法是搞題海戰術，其結果是學生苦不堪言，而且收效甚微.這就迫切要求教師在提高數學課堂的有效性上狠下功夫，做到精講精練.下面以高三復習中的一道習題為例，談談如何開拓學生思維，拓寬學生解題思路，提高學生能力.

引例：已知x>0，y>0，1x+2y=1

，求x+2y的最小值.

解法一：x+2y=（x+2y）·1=（x+2y）（1x+2y）=

5+2yx+2xy

≥5+2

2yx×2xy

=9

.

當且僅當2yx

=2xy

，即x=y=3時等號成立.此時x+2y取最小值9.

評析：此處引用了“1”的附乘功能，進而利用基本不等式求最值.處理起來簡潔明了，更便于學生掌握.

解法二：由

1x+2y=1

得到

y=2xx-1（x>1）.

∴x+2y=x+4xx-1

=x+4（x-1）+4x-1

=（x-1）+4x-1+

5≥2（x-1）×4x-1+5=9

.

當且僅當x-1=4x-1

，即x=y=3時等號成立.此時x+2y取最小值9.

評析：通過消元的方法，將二元問題轉化為一元問題，然后結合不等式、分離常數等知識，把問題處理得自然流暢，非常簡單.但是要注意不等式運用的條件，即“x>1”這一隱含的條件.

解法三：由

1x+2y=1

得到y=2xx-1（x>1）

.∴x+2y=x+4xx-1

=x2+3xx-1.

令f（x）=x2+3xx-1（x>1）

.

下面求函數f（x）的最小值.

f′（x）=x2-2x-3（x-1）2

=（x-3）（x+1）（x-1）2

.

令f′（x）=0得到x=3.

當x∈（1，3）時，f′（x）<0；當x∈（3，+∞）時，f′（x）>0.

所以當x=3時函數f（x）取得最小值.

又f（3）=9，故f（x）最小值為9，即x+2y的最小值為9.

評析：此處運用函數思想，將問題轉化為求函數的最值，結合導數知識，發揮了導數求最值的功能，從而化難為易，體現了轉化與化歸思想在解題中的應用.

解法四：將1x+2y=1

變形為（x-1）（y-2）=2，（x>1，y>2），

則x+2y=（x-1）+2（y-2）+5≥22（x-1）（y-2）+5=9

.

當且僅當x-1=2（y-2），即x=y=3時等號成立.此時x+2y取最小值9.

評析：筆者在教學中發現，解法四學生能接受而且處理起來也比較方便，但是普遍反映想不到.筆者就順水推舟，請大家觀察：變形前

“1x+2y=1

”與變形后“

（x-1）（y-2）=2（x>1，y>2）”

這兩個等式之間有什么規律？然后筆者又給出“2x+

8y=1”讓學生自己完成變形.很快學生就得到了變形結果“

（x-2）（y-8）=16（x>2，y>8）”

.通過探究，學生終于發現了規律：

ax+by=k（a>0，b>0，k>0）

可以變形為

（x-ak）（y-bk）=abk2

，可以求mx+ny（m>0，n>0）這一類問題的最值.

本題的解法還有很多，比如可以令t=x+2y，則x=t-2y代入1x+2y=1

轉化為二次函數問題，也可以根據條件“

x>0，y>0，1x+2y=1

”進行三角換元，令

1x=cos2θ，2y

=sin2θ，θ∈（0，π2）

，然后轉化為三角函數最值問題等.

變式訓練：

1.已知x>0，y>0，1x+9y=1，求x+y的最小值.

2.已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求2x+y的最小值.

綜上可知，學生是課堂學習的主體，學生的認知需要才是最重要的.教師在解題教學過程中需要不斷啟發學生探究和思考，發展學生思維能力，增強學生學習數學的興趣，從而提高課堂教學的有效性.

（責任編輯 黃桂堅）