高中數學數列問題高考題型及解題方法初探

王佳興

摘 要?數列是高中階段重要的數學知識內容，做好高中數學列的學習能為以后的高等數學學習打下堅實基礎。本文主要分析了高中數學當中，數列問題的主要高考題型，并對相關的解題方法進行了探究。通過例題分析高中數列問題的解題技巧，對解決數列問題具有參考意義。

關鍵詞?高中數學;數列問題;高考題型;解題方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）22-0142-02

前言：按照一定次序排列的一列數被稱之為數列，在高中階段數列是高考的必考考點。數列中項目的排序極具規律性，這也是解題的關鍵之處，解決數列問題就是要找出這樣的規律，利用公式和技巧解答問題。高中階段的數列知識內容比較復雜，涉及到的高考題型也比較多樣，需要同學們掌握解題技巧靈活答題。

一、數列通項公式運用類型題的解題方法

高中數列中的通項公式是將數列{a_n}的第n項用一個含有參數n的具體式子表達出來，是數列知識的核心內容。要解決數列通項公式運用類型題，需要靈活變化數列的遞推公式。在高考中，求數列的通項公式是比較基礎性的考題，通常需要根據已知的遞推關系求通項公式;或者是根據已知的前n項和第n項之間的關系，來求通項公式。以下題舉例：

已知數列{an}滿足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），求{a_n}的通項公式。

解析：根據題干分析，我們已知等式a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），那么通過公式換算可以得出a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n;可以得出a_n+1-a_n=na_n，a_n+1=（n+1）a_n（n≥2）;所以我們可得=n+1（n≥2）。因此，我們可以得出a_n=··…·a₂=[n（n-1）·…·43]a₂=a₂。那么由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2）等式我們可以令n=2，然后可以得出a₂=a₁;根據題干我們又知道a₁=1，所以a₂=1，將其代入可得a_n=1·3·4·5·…·n=，所以{a_n}的通項公式a_n=。

在解答求解數列的通項公式問題時，一定要利用好題干中的已知條件，還要通過對遞推公式等基礎知識的靈活運用，找出題干中的潛在條件，在判斷出具體的數列類型后再進行解答。

二、數列求和類型題的解題方法

數列求和也是最常見的數列問題高考考點之一。在求和時需要先判斷數列的類型然后再根據相關的求和公式進行求解。最基本的求和方法就是公式法，等差數列的前n項和公式為S_n=a₁n+d或者是S_n=n。等比數列的前n項求和公式分為兩種情況，當q=1時，S_n=n×a₁;當q≠1時，S_n=或S_n=。

而在題干條件不充足的情況下還需要借助于具有技巧性的解題方法，才能解答數列求和問題。比如，最常見的技巧性數列求和解題方法就是錯位相減法。當數列{a_n}為等差數列，數列{b_n}為等比數列時，由這兩個數列的對應項乘積組成了新數列{a_n·b_n}，對新數列進行求和就可以使用錯位相減法。以下題為例：

求數列{n·}的前n項和。

解析：根據題干我們可設a_n=n，其中數列{n}為等差數列，數列{}為等比數列且公比為，滿足錯位相減法的使用條件。因此，我們使用錯位相減法來解題，首先展開公式。S_n=1×+2×+3×+…+n×，然后可知S_n=1×+2×+…+（n-1）×+n×，則S_n=+++…-n×;然后我們經過簡化整理可以得出S_n=2--，最終可得S_n=2-。

在利用錯位相減法求解數列的前n項和時，一定要通過題干確定被要求求和的數列是否滿足{a_n·b_n}的形式，是否滿足{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列。必須滿足條件才能進行求和，同時要牢記錯位相減法的計算要領和公式，在運算當中要靈活的運用。在進行等式化簡時，一定要謹慎對待，不要出現疏漏。

三、等差數列與等比數列類型題的解題方法

（一）等差數列

顧名思義，等差數列就是指從數列的第二項起，每一項與前一項的差等于一個常數的數列，等差數列的公差通常用d表示。在高考題型中，有一類考題是關于考察等差數列的性質，解題的關鍵就是根據等差數列的各項特性進行全面分析，通過思考將已知條件和隱藏條件，再結合公式與技巧進行答題。以下題為例：

等差數列{a_n}中，已知a₁<0，S₉=S₁₂，該數列在n=k時，前n項和S_n取到最小值，那么k=______。

解析：通過觀察題干我們發現，這道例題當中的a₁只給出了一個范圍，并沒有給出明確的數值，而數列{a_n}的前9項和與前12項和相等。

通過這兩個已知條件，我們可以實現等差數列各種公式之間的轉換書寫，然后根據等差數列的相關公式特點和題干中隱含的條件，進行不斷的分化，逐步向所求數據靠攏。由S₉=S₁₂，我們可以先得出與公差d相關的等式，即d=-a₁，那么我們可以根據等差數列的求和公式得出S_n=na₁+=n²+（a₁-）n，由此可以分析出，S_n=（-a₁）·n²+（）·n=-（n-）²+a₁（a₁<0），那么根據二次函數性質我們可以得出，當n==10.5時，S_n最小。但是nN^*，所以n=10或11的時候，S_n可以取到最小值。

（二）等比數列

等比數列是從數列的第二項起，每一項與前一項的比值都是同一個常數，公比通常用q表示。在解決等比數列性質類問題時，也要根據等比數列的特點和基礎公式，對已知條件進行轉換。通過分析規律找出等比數列的基礎項，然后再開始答題。等比數列的相關知識點與等差數列相比略有不同，下表對其中的細節進行了區分。

以下面一道例題演示等比數列的高考常見題型和解題要點：

數列{a_n}為等差數列，a_n為正整數，其前n項和為S_n，數列{b_n}為等比數列，且a₁=3，b₁=1，數列，{b_an}是公比為64的等比數列，b₂S₂=64。

（1）求a_n，b_n;

（2）求證++···+<。

解析：（1）設{a_n}公差為d，{b_n}公比為q，根據題干我們可以得出結論公差d為正整數。那么可設a_n=3+（n-1）d且b_n=q^n-1，然后我們可以根據題干內容得出等式①，以（6+d）q=64我們可知公比q為正有理數，那么d就是6的因子也就是1、2、3、6之一。然后根據推論對①進行拆解，可以得出d=2、q=8，那么a_n=3+2（n-1）=2n+1;b_n=8^n-1。

（2）首先我們從題干中可知S_n是數列{a_n}的前n項和，那么S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）;所以我們可以將所求不等式進行替換，得到②：++…=+++…+，化簡②=（1+--）<，由此可證明++…+<。

（三）綜合類數列題

在數列類型題中，有一類題會將等差數列、等比數列、函數等內容綜合應用。以下題為例：

5.設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2S_n=3ⁿ+3.

（1）求{a_n}的通項公式;

（2）若數列{b_n}滿足a_nb_n=log₃a_n，求{b_n}的前n項和T_n。

解析：根據題干已知2S_n=3n+3，所以我們可以得出2a₁=3+3，所以可知a₁=3。

那么當n>1時，2S_n-1=3^n-1+3，此時，2a_n=2S_n-2S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，即a_n=3^n-1，所以我們可以得出a_n的通項公式為。再來看第二個問題，我們已知a_nb_n=log₃a_n，所以，我們可以得出b₁=，那么當n>1，則b_n=3^n-1·log₃3^n-1=（n-1）×3^n-1，所以可得出T₁=b₁=;那么當n>1時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^n-1），所以3T_n=1+（1×3⁰+2×3^-1+3×3^-2+…+（n-1）×3^n-2），然后我們兩個等式相減可以得出：2T_n=+（3⁰+3^-1+3^-2+…+3^n-2-（n-1）×3^n-1）=+-（n-1）×3^n-1=-，所以我們可得T_n=-，經檢驗，n=1也適合。綜上可得，T_n=-。

四、結論

綜上所述，高中數列的知識內容具有規律性，應該要做好基礎知識的儲備。在解決數列問題時，一定要進行細致的分析，快速判斷試題類型和考點，這樣才能找出正確的解題方法。我們需要在答題時充分分析題干，進行準確的分析，一定要靈活的運用掌握的基礎知識進行答題，切忌生搬硬套公式。

參考文獻：

[1]林迪.高中數學數列問題的常見類型和解答方法[J].中外企業家，2018（15）：162.

[2]吳雅琴.高中數學數列問題高考題型及解題方法研究[J].中學數學，2017（19）：87-88.