高中數學三角函數解題中的隱含條件的挖掘

摘要：在高中數學課程中，三角函數是非常重要的一部分，而且也是高考必考的知識點之一，近年來三角函數分值在高考總分中所占比重逐年增加，因此必須要引起我們廣大高中生的足夠重視。

關鍵詞：高中數學；三角函數；隱含條件；挖掘

一、 注重挖掘三角函數定義域中的隱含條件

在三角函數知識體系學習中，函數定義域是非常重要的要素之一，而且也是三角函數得解的根本。定義域雖然看起來簡單，但是我們學生一旦對此不加留意，就很容易走入錯誤的解題路徑，導致試題做錯或漏解。而這些錯誤的發生，絕大多數時候都是沒有找到題目中的隱含條件導致。

例1已知函數y=log1x（sinx+cosx），則此函數的單調遞增區間范圍為（）

A. 2kπ-π4，2kπ+π4 （k∈Z）

B. 2kπ-3π4，2kπ+π4 （k∈Z）

C. 2kπ+π4，2kπ+3π4 （k∈Z）

D. 2kπ+π4，2kπ+5π4 （k∈Z）

錯解：由于0≤1x≤1，所以結合復合函數所具有的單調性，可以得出函數y=log1x（sinx+cosx）=log1x2sinx+π4，因此僅需要求函數g=sinx+π4的單調性便可以了。由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2k∈Z，可以得到x的區間范圍為2kπ+π4，2kπ+5π4 （k∈Z），因此本題答案為D。

解析：上述解法之所以會出錯，就是因為對給定函數的定義域范圍考慮不周。所給定函數的定義域題干條件中并未直接給出，而是需要我們去挖掘，通過分析可知此題存在隱含條件：sinx+cosx>0，所以在求x取值范圍時，應該在2kπ

評析：在三角函數試題求解中，我們高中生經常容易犯的錯誤就是對定義域考慮不周。對于單調的三角復合函數而言，其區間通常是三角函數子集，所以，我們當遇到這一類問題時，先要考慮定義域，通過對函數定義域所包含的隱含條件進行深入挖掘，再綜合考慮求解，才能保證得出正確答案。

二、 注重挖掘已知條件當中的隱含條件

當解答三角函數相關試題時，我們很多同學都會因為沒有考慮到題干給定已知條件中所包含的隱含條件而導致試題做錯。所以，在遇到該類試題時，我們一定要仔細研讀題干條件，弄清題意，理清思緒，認真分析已知條件，對已知條件吃準、吃透，找到題目中的隱含條件，從而才能讓試題順利得以解決，提高解題效率，起到事半功倍的效果。

例2已知正角α，β間存在如下關系式：α+β=23π，當ω=1-cos（π-2α）cotα2-tanα2-12sin2β的值最大時，試求此時的α，β值各為多少。

錯解：由于α+β=23π，所以α=23π-β

因此ω=1-cos（π-2α）cotα2-tanα2-12sin2β=12（sin2α-sin2β）=-12sin23π-2β

由于2β>0，所以23π-2β<23π，得出23π-2β=-12π+2kπ（k∈N），也即是

β=-kπ+712π，α=-kπ+112π時，ω的值可以取到最大。

解析：該題在解答過程中之所以會出現錯誤，主要是因為當消去角度α時，沒有考慮到隱含條件：α>0且0<β<23π，因此使得角度取值范圍擴大。由限定條件：α>0，β>0，α+β=23π，可得出0<β<23π，所以-23π<23π-2β<23π，因此當23π-2β=-12π時，

ω的值可以取到最大，此時α=π12，β=712π。

評析：當給定三角函數數值，想要求解角度值時，我們一定要對題目中條件進行深入挖掘，盡可能挖掘到所有的隱含條件，防止角度值范圍擴大而導致試題求解錯誤。

三、 注重挖掘軸線角方面的隱含條件

在高中數學三角函數知識學習中，角度終邊經常會落在坐標軸上，這樣的角度便稱為“軸線角”。而軸線角的三角函數值或者不存在，或者便是特殊值，所以在求解該類角度的三角函數試題時我們應當特別留意，注意對軸線角方面的信息進行挖掘，找到題干中的隱含條件，從而才能得出最終的正確解。

例3已知條件：sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，試求cosα的數值。

錯解：由于cosα=sinαtanα=2sinβ3tanβ=23cosβ，因此cosβ=32cosα，同時

sinβ=12sinα，結合上述三個等式可以解得cosα=±64。

評析：該試題求解過程之所以會出錯是因為并未考慮到隱含的邊界條件：tanα≠0，

tanβ≠0，但是題目當中并未對此條件作出說明，因此我們很多學生會忽略這樣的條件，實際上tanα=0，tanβ=0這樣的條件都是成立的，因此cosα=±1也成立，所以本題的正確答案應該是cosα=±64或cosα=±1。

四、 注重挖掘三角形內角范圍方面的隱含條件

高中數學三角函數角度通常會和三角形內角聯系起來進行考查，而當我們遇到這類題型時，應當注意挖掘題目中的隱含條件，也就是三角形內角和等于180°，三角形任意一個內角都大于0°，且三角形內角中至多只有一個直角或鈍角，只有我們將這些隱含的條件都把握住，才能在做這類題時有的放矢，拿到滿分。

例4在三角形ABC中，如果sinA=35，且cosB=513，試求cosC的數值。

錯解：由于sinA=35，因此可以解出cosA=±45，而結合cosB=513，可以解出

sinB=1213，所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，可得出cosC=5665或cosC=1665。

評析：上述解法由于沒有考慮到三角形內角的隱含限制條件，所以才得出兩個解，做錯的原因主要是沒有深入挖掘題目中的隱含條件。由于三角形內角A，B都是銳角，而且AA，所以∠A為銳角，因此cosA=45，那么cosC=1665。

五、 注意挖掘符合函數性質方面的隱含條件

例5已知復合函數y=3sinπ4-3x，試求其單調遞增區間。

錯解：令u=π4-3x，那么y=3sinu，而函數y=3sinu在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）區間上為單調遞增函數，也就是2kπ-π2≤π4-3x≤2kπ+π2，可以解出-2kπ3-π12≤x≤-2kπ3+π4（k∈Z），因此所求復合函數y=3sinπ4-3x的單調遞增區間是-2kπ3-π12，-2kπ3+π4（k∈Z）。

解析：在這道題求解中，我們之所以會犯上述解題錯誤，就是因為沒有考慮到復合

函數u=π4-3x是減函數這樣的隱含條件，但是y=3sinu在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）區間上卻是單調遞增函數，從而可以得出y=3sinπ4-3x在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）區間上是單調遞減函數。要想讓y=3sinπ4-3x=-3sin3x-π4為單調遞增函數，那么2kπ+π2≤3x-π4≤2kπ+3π2，可以解出2kπ3+π4≤x≤2kπ3+7π12（k∈Z），也就是復合函數y=3sinπ4-3x的單調遞增區間是2kπ3+π4，2kπ3+7π12。

評析：復合函數通常具有一些基本性質：設函數y=f（u），u=g（x），x∈[a，b]，u∈[c，d]均為單調函數，那么y=f（g（x））也為單調函數。如果y=f（x）在定義域[m，n]上為單調遞減函數，那么復合函數y=f（g（x））和函數u=g（x）在定義域[a，b]內的單調性相反，也即是“同增異減”。

作者簡介：王乙羽，浙江省新昌市，新昌天姥中學。