反三角函數等式arcsin玿+arccos玿=π2的幾種證法

摘要：通過對等式arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）的幾種不同證明方法，以開拓學生們的解題思路。

關鍵詞：反三角函數；單值函數；等式

在反三角函數的教學中，對等式arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）的證明往往是以作業題的形式出現，對于學生來說是一個難點。下面給出幾種證明方法，以培養學生的創新思維能力，供大家參考。

證法1將對該等式的證明轉化為對等式

arcsinx=π2-arccosx（x∈[-1，1]）的證明。

∵x∈[-1，1]

∴arcsinx和π2-arccosx都是區間-π2，π2內的角。

sin（arcsinx）=x

sinπ2-arccosx=cos（arccosx）=x

再由正弦函數在區間-π2，π2內是單值函數知：arcsinx=π2-arccosx

也就是：

arcsinx+arccosx=π2。

這是比較常見的一種證法。

證法2在同一個坐標系中作出函數y=arcsinx和y=arccosx的圖象。

設y=arcsinx的圖象是曲線AOB，y=arccosx的圖象是曲線CMD（如圖1）。顯然這兩條曲線是關于直線y=π4對稱的。

在曲線y=arcsinx上任取一點P（x，arcsinx），過P作y軸的平行線，它與直線y=π4的交點是K，與曲線y=arccosx的交點是N（x，arccosx）。

∵|KN|=|KP|

且|KN|=arccosx-π4，

|KP|=π4-arcsinx

∴arccosx-π4=π4-arcsinx，

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

證法3如圖2，同圖1先在同一個坐標系中作出函數y=arcsinx和y=arccosx的圖象，分別是曲線AOB和CMD，再把曲線CMD向下平移π2個單位，得到曲線C′OD′，它對應的函數式為y=arccosx-π2。

顯然曲線AOB和曲線C′OD′是關于x軸對稱的。

在曲線y=arcsinx上任取一點P（x，arcsinx），過P作y軸的平行線，它與x軸的交點是N，與曲線y=arccosx-π2的交點是K（x，arccosx-π2）。∵|PN|=|KN|，

且|PN|=-arcsinx，

|KN|=arccosx-π2。

∴-arcsinx=arccosx-π2。

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

證法4利用導數來證明

設f（x）=arcsinx+arccosx，|x|≤1則f′（x）=11-x2-11-x2=0

根據導數的性質知f（x）=C（C是常數）

那么C=f（0）=arcsin0+arccos0=π2

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

作者簡介：朱雙榮，湖北省武漢市，武漢船舶職業技術學院公共課部。