論數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

袁天雨

【摘要】數(shù)學(xué)研究的是高度抽象了的東西，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的數(shù)學(xué)思想是推動(dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)的本質(zhì)源頭，當(dāng)代從事數(shù)學(xué)教育的一線教師需在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就要求教師在知識(shí)傳授中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)本質(zhì)；抽象

關(guān)于數(shù)學(xué)是什么可以說(shuō)是眾說(shuō)紛紜，但數(shù)學(xué)以其獨(dú)有的形式存在于我們身處的客觀世界，并服務(wù)于人類的進(jìn)步和發(fā)展這一點(diǎn)毋庸置疑，在當(dāng)代的中國(guó)數(shù)學(xué)教育，處在一線的數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)當(dāng)肩負(fù)起對(duì)數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)思想的傳播和發(fā)展的重任，特別是要從原有固定模式的課堂教學(xué)中解放出來(lái)，這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)的基本思想無(wú)外乎史寧中先生所歸納的：抽象，推理，模型.[1]教師以數(shù)學(xué)的基本思想為依據(jù)，不斷滲透各知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，并在知識(shí)的傳授中注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，而非規(guī)律與知識(shí)本身，要教會(huì)學(xué)生從思想中獲得方法，從知識(shí)中追溯本質(zhì)，使學(xué)生達(dá)到我們所期望的或可預(yù)見(jiàn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本文以高中必修5的余弦定理為例來(lái)淺談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實(shí)例，望能供廣大一線教師予以參考.

一、轉(zhuǎn)化的思想方法

轉(zhuǎn)化的思想方法是將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，究竟什么是轉(zhuǎn)化的思想呢？它的本質(zhì)是什么呢？張奠宙和過(guò)伯祥先生曾形象地描述過(guò)轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)化的方法就是，將一個(gè)問(wèn)題A進(jìn)行變形，使其轉(zhuǎn)化為另一已能解決的問(wèn)題B，既然B已可解決，那么A也就解決了.[2]在余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以向?qū)W生先提出問(wèn)題：如何運(yùn)用三角形的三邊長(zhǎng)來(lái)確定一個(gè)三角形的形狀呢？之前我們學(xué)習(xí)過(guò)向量的知識(shí)，向量中的三角形法則是不是可以把三角形的三邊轉(zhuǎn)化為向量表示呢？接下來(lái)演示用向量法推導(dǎo)余弦定理.

證明設(shè)CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b，

|c|2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a+b·b-2a·b

=a2+b2-2abcosC.

同理可證出a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

二、分類討論的思想方法

分類討論的思想方法是把一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象剖析，從一點(diǎn)或者一面來(lái)分開(kāi)討論，進(jìn)而得到關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的整體性結(jié)果[3]，一味強(qiáng)調(diào)“因題解題，遇法而授”的思想是不正確的，那么在教師傳授知識(shí)的同時(shí)，如何理解和認(rèn)識(shí)分類討論思想的本質(zhì)，如，在討論三角形的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般情況下我們把對(duì)于三角形的討論分為三個(gè)點(diǎn)面的討論，即銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，通過(guò)這三個(gè)點(diǎn)面的劃分，進(jìn)而得到關(guān)于三角形相關(guān)的一般結(jié)論[4]，下面基于分類討論的思想方法給予余弦定理的參考證明.

證明（1）當(dāng)∠A是直角時(shí)，b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos90°=b2+c2=a2，可知結(jié)論成立.

圖1

（2）當(dāng)∠A是銳角時(shí)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，則在Rt△ACD中，AD=bcosA，CD=bsinA.

從而，BD=AB-AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

圖2

（3）當(dāng)∠A是鈍角時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則

在Rt△ACD中，

AD=bcos（π-A）=-bcosA，

CD=bsin（π-A）=bsinA.

從而，BD=AB+AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

綜上（1）（2）（3）可知，均有a2=b2+c2-2bccosA成立.

三、類比的思想方法

數(shù)學(xué)中類比的思想方法始終貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，我們從外部世界高度抽象出的一些數(shù)學(xué)概念，通過(guò)類比得到相似事物的某些一致性特征，并通過(guò)研究的結(jié)果來(lái)探討與未知事物的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而抽象又抽象地發(fā)現(xiàn)新的事物，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比的方法又該如何傳授給學(xué)生？顯然，教師需將正弦定理與余弦定理聯(lián)系起來(lái)，那么我們是否能用正弦定理來(lái)認(rèn)識(shí)和推導(dǎo)余弦定理呢？這就是類比的思想方法，下面基于類比的思想方法予以余弦定理的參考證明.

在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

于是，a2=b2+c2-2bccosA

4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA

2sin2A=2sin2B+2sin2C-4sinBsinCcosA

2sin2A=2-cos2B-cos2C-4sinBsinCcosA

2-2cos2A=2-2cos（B+C）cos（B-C）-4sinBsinCcosA.

由于cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，因此，

cos2A=cos（B+C）cos（B-C）+2sinBsinCcosA

cosA=-cos（B-C）+2sinBsinC

cosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos（B+C）.

這顯然成立.

即，結(jié)論成立.

四、結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的淺談分析，望能對(duì)廣大一線教師的教學(xué)予以參考意義，同時(shí)也希望我們的數(shù)學(xué)教育能基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力為核心，不斷推進(jìn)我國(guó)教育事業(yè)的蓬勃發(fā)展.endprint