基于數(shù)學軟件Mathematica的高職數(shù)學教學實踐

韋潔華

【摘要】本文通過幾個教學實例展示了基于數(shù)學軟件Mathematica的高職數(shù)學教學實踐.在高職數(shù)學教學中引入Mathematica，可以有效地使抽象的概念形象直觀化，幫助學生更好地理解數(shù)學概念、定理，簡化計算，激發(fā)學生的學習興趣，進而提高課堂教學質量.

【關鍵詞】高職數(shù)學；Mathematica；教學實踐

【基金項目】廣州南洋理工職業(yè)學院2016年度校級教育教學改革立項資助項目（nyjg2016016）.

一、Mathematica的特點

Mathematica是美國Wolfram公司開發(fā)的一款科學計算軟件，很好地結合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)以及與其他應用程序的高級連接.很多功能在相應領域內處于世界領先地位，它也是目前為止使用最廣泛的數(shù)學軟件之一.Mathematica作為一種專門工具，具有其顯著的特點，主要包括：

（1）內容豐富，功能齊全.Mathematica可以對初等數(shù)學、高等數(shù)學、工程數(shù)學等進行各種數(shù)值計算及符號運算.特別是它的符號運算功能，極大地方便了數(shù)學公式的推導.它具有很強大的繪圖能力，能快速畫出各種美麗的曲線和曲面，甚至可以設計動畫.

（2）語法簡潔，編程效率高.Mathematica的語法規(guī)則簡潔，語句簡單.和其他高級語言（如，C語言、Fortran語言）對比，其語法規(guī)則和表達方式更接近數(shù)學運算的思維和表達方式.使用該軟件編程，用較少的語句，就可以完成復雜運算和公式推導等任務.

（3）操作簡單，易于使用.Mathematica命令容易學習和記憶，操作也非常方便.用戶可以和Mathematica互動“對話”，一個一個地執(zhí)行命令，也可以完成“批處理”，將多個命令組成的程序，一次性地交給Mathematica，完成指定的任務.

二、教學實踐

我們選取高職數(shù)學中幾個典型案例來展示基于Mathematica的高職數(shù)學教學實踐，結合多媒體的使用，將大大提升教學效果.

（一）Mathematica輔助理解極限概念

極限知識是微積分的基礎，要學好微積分，必須理解極限思想.極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想.對于高職學生來說，極限知識是非常抽象的，學生在理解極限思想時倍感吃力.現(xiàn)在有了Mathematica，在課堂上可以結合多媒體的使用，利用Mathematica強大的操作命令和圖像功能幫助學生通俗地理解極限知識.Mathematica計算函數(shù)極限的命令格式是：

limx→af（x）：Limit[f[x]，x->a]

limx→∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity]

limx→a+f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction->-1]

limx→a-f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction->+1]

limx→+∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction->+1]

limx→-∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction->-1]

畫一元函數(shù)圖像的命令格式是：

Plot[f[x]，{x，a，b}]

例1在學習第一個重要極限 limx→0sinxx時，我們在Mathematica窗口輸入命令：

Limit[Sin[x]/x，x->0]

按shift+enter運行后輸出結果為1.利用作圖命令：

Plot[Sin[x]/x，{x，-10，10}，PlotRange {-0.3，1.1}]

運行后輸出圖像（如圖1所示）.

圖1

通過觀察函數(shù)圖像，可以知道當x無限接近于0時，函數(shù)值會無限接近于1.數(shù)學軟件計算極限速度快且準確，通過作出函數(shù)圖形，讓學生從直觀上理解極限的定義，極大地提高學生聽課的積極性，達到良好的教學效果.

（二）函數(shù)在閉區(qū)間上的性質——零點定理

零點定理：設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）<0），則在開區(qū)間（a，b）內至少有函數(shù)f（x）的一個零點，

即至少存在一點ξ（a<ξ

對于高職學生來說，函數(shù)的零點個數(shù)及零點的教學是一個難點，基礎較薄弱的學生遇到這類問題更是無從下手.有了Mathematica輔助教學，高職學生解決零點問題就輕松很多，而且從直觀上更容易理解零點定理的本質.

例2利用Mathematica尋找函數(shù)f（x）=sinx-0.5cos25x的零點個數(shù)，并求出零點.

首先，利用Mathematica的畫圖功能畫出函數(shù)的圖像，觀察圖像和x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)的零點個數(shù).

Clear[f]；

f[x_]：=Sin[x]-0.5 Cos[25 x]；

Plot[f[x]，{x，0，2}]

圖2

圖2所示的是一條很有意思的曲線，從圖像可以看出有5個零點，全在0和0.6之間，它們群集在左邊，所以我們可以利用Mathematica在一個更合適的區(qū)間里畫出函數(shù)的圖形，如圖3所示.

Plot[f[x]，{x，0，0.55}]

圖3

最后將零點定位在0.2附近，用命令

FindRoot[f[x]，{x，0.2}]

{x0.205293}

得到零點是x=0.205 293，其他4個零點也可類似求出，這里就不再重復.

（三）利用Mathematica設計微元法求平面圖形的面積

在講授定積分微元法求平面圖形面積時，我們可以借助Mathematica提供的三種操作命令Plot、Solve和Integrate分別求平面曲線圍成的平面圖形描繪、積分區(qū)間和面積的定積分表達式.這三種操作命令格式如下：

（1）作圖：Plot[{f[x]，g[x]}，{x，min，max}]

（2）求交點，確定積分區(qū)間：

Solve[y==f[x]，y==g[x]，{x，y}]

（3）確定積分變量即面積微元：

dA==（f[x]-g[x]）dx

（4）計算定積分求所求面積：

Integrate[f[x]-g[x]，{x，a，b}]

例3求由拋物線y+1=x2與直線y=1+x圍成的平面圖形的面積.

利用Mathematica操作命令求解：

Plot[{x^2-1，1+x}，{x，-1，2}，AxesLabel{x，y}]

運行后輸出圖形（如圖4所示）：

圖4

由圖4可知所圍平面圖形應該選x為積分變量，為確定x的變化范圍，利用Mathematica的Solve命令求它們的交點：

Solve[{y==x^2-1，y==1+x}，{x，y}]

運行后輸出結果：{{x -1，y 0}，{x 2，y 3}}

在Mathematica窗口輸入命令：

所求面積微元：dA=（（1+x）-（x^2-1））dx

所求面積：Integrate[（1+x）-（x^2-1），{x，-1，2}]

最后輸出結果9/2.

由此可以看出，利用Mathematica的Plot命令畫出所求平面圖形，用Solve求出圖形的交點，進而確定積分范圍，最后用Integrate求出所圍平面圖形的面積，學生對求解定積分的應用——平面圖形的面積的步驟理解起來非常直觀，學生只要掌握這幾個命令的用法就可以很快求出所求的平面圖形的面積.

三、結束語

高職教育以培養(yǎng)生產、建設、服務和管理第一線的專業(yè)技能型專門人才為主要任務，而高職數(shù)學的原則是“以應用為目的，以必須夠用為度”，在高職數(shù)學教學中引入Mathematica進行輔助教學，正是符合這樣的教學原則.利用Mathematica的繪圖功能，能直觀、形象地展示抽象概念的邏輯演變過程，將抽象的理論具體化，將煩瑣復雜的計算簡單化，增強學生的學習興趣，豐富了高職數(shù)學課堂，提高課堂教學質量.

【參考文獻】

[1]吳贛昌.高等數(shù)學（理工類·高職高專版）[M].第3版.北京：中國人民大學出版社，2011.