試論類比推理在高等數學教學實踐中的應用

宋顥

【摘要】類比推理是一種重要的科學研究方法，在高等數學教學實踐中，合理地應用類比推理，不僅能顯著提高教學成效，而且能培養學生的數學素質和創新思維，增強學生運用數學知識解決實際問題的能力。

【關鍵詞】類比推理 高等數學 教學實踐

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）21-0031-02

一、引言

類比推理是在已知兩個或兩類對象部分屬性（如特征、屬性、關系等）相同的基礎上，推導出其他屬性也相同的思維方式。類比推理是一種重要的科學研究方法，是從特殊推向特殊的推理過程，科學家常根據類比推理得出重要結論，尋找和發現真理。類比推理可分為簡單類比、復雜類比；概念性類比、過程性類比；性質類比、關系類比等等。類比推理拓展了人們的思維空間，為人們的“自由創造”提供了廣闊的天地。

二、類比教學法的模式及教育價值

類比推理作為一種重要的數學思想，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，是從特殊到一般，由此及彼的過程，其基本模式為：若A對象具有屬性a，b，c，d，且B對象具有屬性a，b，c，猜想：B對象具有屬性d。通過這種方法推理出的結果，可能不一定精準、可靠，但是極具創造性，思維方法生動活潑、富有創造性，能給人帶來深刻的啟迪。例如，數學家笛卡爾受到天文和地理經緯度啟發，運用類比推理的方法，建立了坐標幾何學，奠定了微積分發展的基礎；一些高深數學理論也是通過類比推理獲得的，例如，平面幾何、線性代數之間的分析類比，從平面幾何向量的長度可類比推理出線性代數n維向量的模。

在高等數學中應用類比推理進行教學，具有積極的實踐價值：第一，通過創設問題情境，培養學生發現問題的能力，引導學生提出新的問題、新的可能性，并運用既有的知識，去從新的角度發現另一事物的某一方面的特點，從而幫助學生做到溫故而知新，提高發現問題的能力。第二，通過類比推理教學，引導學生探究問題本質，學會多維度分析問題。高等數學涉及到很多抽象、艱澀的概念和公式，學生難以較好地理解和記憶，借助類比推理，可以讓抽象的概念變得更加條理，這對培養學生的邏輯分析能力和數學思維有很大助益。第三，通過類比推理教學，能夠將知識點的形成過程和邏輯關系，清楚、條理地表現出來，有利于學生領悟其中的本質聯系，利用已學知識創新解決問題。

三、類比推理在高等數學中的應用

1.《高等數學》類比法教學程序的建構

一元函數微積分與多元函數微積分是高等數學的核心內容，教師可根據一元函數與多元函數的共性特點，即都是對一個變量與另外（一個或多個）變量之間關系的描述，通過類比推理，從一元函數推理出多元函數也可能具有相同或相似的結論，并對結論進行驗證。其教學程序見圖1所示。

2.高等數學中類比推理教學實例及應用策略

（1）概念類比推理

數學概念是對數學對象本質屬性的抽象與概括，學生只有正確地理解數學概念，才能從根本上理解和掌握概念的本質屬性，為下一步數學的學習奠定基礎。教師可從具體事例或相近概念出發，應用類比思想導入教學，將會收到事半功倍的教學效果。例如：

（2）性質類比推理

高等數學中不少概念都有相似的性質，教師可以應用類比推理，引導學生找出不同概念性質之間的聯系和特點，然后，有針對性地進行區分和記憶。例如，一元函數閉區間上的連續函數有最值定理和介值定理，利用類比思想，可得多元函數在閉區域上有類似的最值定理和介值定理性質。再如，常數k乘以一個函數有一系列相似的性質，極限，可類比推理出導數，繼續推理，可得微分，層層推理下，可相繼得到不定積分、定積分、二重積分；等等。

另外，在高等數學常微分方程中，部分方程的通解也具有相似的性質，例如，根據結論：一階線性非齊次微分方程的通解等于其對應的齊次微分方程的通解加該非齊次微分方程的任一特解，利用類比推理，可以推導出如下相似結論：二階線性非齊次微分方程的通解等于對應的齊次微分方程的通解加上該非齊次微分方程的任一特解；線性非齊次方程組的通解等于其對應的齊次方程組的通解加上該非齊次方程組的任一特解；非齊次的矩陣微分方程的通解等于其對應的齊次方程的通解加上該非齊次方程的任一特解，等等。

（3）公式類比推理

高等數學中的公式比較多，但若運用類比推理，則能很容易地掌握其內在聯系。例如，對于牛頓-萊布尼茨公式、格林公式之間的內在聯系，教師可利用類比推理的方式，幫助學生進行區分和記憶。牛頓-萊布尼茨公式，

建立了一元函數在一個區間的定積分與其原函數在區間邊界值的聯系，借助類比推理，可得格林公式，格林公式可視為牛頓-萊布尼茨公式的二維推廣。

四、結語

綜上所述，教學實踐表明，類比推理在高等數學教學中，具有良好的應用價值和實踐效果，不僅能增強教學效果，而且能有效提高學生發現問題、分析問題和運用既有知識解決問題的能力。教師在教學過程中，應當努力為學生創造應用類比推理的“最佳思維環境”，充分激發學生學習的主動性和積極性，使學生敢于創新猜想，大膽類比推理，細心檢驗和嚴格論證，從而不斷提升數學思維和數學素養。

參考文獻：

[1]張友梅.類比思想在高等數學教學中的應用[J].開封教育學院學報，2014，04：123-125

[2]徐亦霞.關于高等數學教學改革中類比教學法的實踐與思考[J].科技視界，2016，13：222