數學開放題與創新思維的培養

游高林

【摘要】數學開放性題是指那些條件不完整、結論不確定、解法不受限制的數學問題，它的特點是正確答案的不唯一性，一般答案只要符合題目要求即可.在初中數學教學中，采用開放式問題教學，可以給學生相對寬松的時間和空間，激發學生的學習活力，引導學生從不同的角度去探索問題、解決問題.從而促進學生思維品質的形成與創新，增強學生探究新知識、新方法的能力.

【關鍵詞】開放題；發散思維；觀察能力

江澤民同志指出：“創新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力.”黨中央國務院關于深化教育體制改革全面推進素質教育的決定中指出：“實施素質教育，應以培養學生的創新精神和創新能力為重點.”可見，開展創新教育，培養學生的創新思維是每一位教師的職責，本文就數學開放題與培養學生的創新思維進行了初步探索.

數學開放題的定義與特征：數學開放題是近幾年出現的一種新題型，是相對于傳統封閉題而言，其特征是，題目的條件不充分或沒有確定的結論，數學命題按思維形式可分為三個部分：假設—推理—判斷.一個開放題，若其未知條件是假設，稱為條件開放題；若未知條件是推理，稱為策略開放題；若未知的條件是判斷，稱為結論開放題；有的開放題只給出一定的情境，其條件解題策略與結論都要求在情境中自行設定或給出，則稱為綜合開放題.

創新思維的定義及特征：數學教學中的創新思維是指對思維的主題來說是新穎獨到的思維活動，它包括發現新事物、揭示新規律、創造新方法、建立新理論、解決新問題等思維過程.創新思維能力包括：發散思維能力、想象力、觀察力、分析力等方面.

一、條件開放題，有助于培養學生發散思維能力

發散思維是指沿各種不同角度去思考問題探求多樣性解答的思維方式，現代心理學家認為：科學家的創造力與其發散思維成正比，可見，發散思維的培養是創造性思維培養的一個核心，也是課堂教學的一個主要內容.

例1已知梯形ABCD（如圖1）中，CD∥AB，若要使它為等腰梯形，還需添加什么條件？請你盡可能對地寫出所添加的不同條件.

解析這是一道條件開放題，解決本題不但要善于靈活運用有關幾何知識，還需要充分發展思維，廣開思路，本題至少有以下幾種答案：

二、結論開放題，有助于培養學生觀察能力

數學解題離不開觀察，因為數學觀察不僅是對數學問題在系統上的感知，還包括對數學問題精密細致的考查和思考，觀察是一種有目的、有計劃的收集題目信息的思維過程，觀察必須目的明確，必須是全面的、多角度的.

例2比較式子的相同之處.

解析這是一道結論全部開放題，我們通過觀察不難發現，相同之處有（1）都是單項式；（2）都含有字母；（3）系數是整數；（4）都含有字母a；（5）都有因式；（6）都是5次齊次式等等，這些特征很明顯，但只有經過細致的觀察才能得出來.

例3又如，下面所示的五個圖形中，那一個圖形比較特殊？

對于這個問題，由于觀察角度的重點不同，不同的人可以有不同的回答，但你只要說出某一個圖形獨有的特征，就是一個答案.

三、策略開放題，有助于培養學生的想象力

愛因斯坦指出：“想象比知識更重要.”牛頓從“蘋果從樹上掉到地面”發現了“萬有引力定律”，因此，培養學生的想象力，對學生的創新思維的發展有很大的促進作用.在數學教學中，培養學生的想象力，首先，應引導學生多角度思考和分析問題，找出問題特征及各種解決問題的方法，而策略開放題正好提供發展想象力的空間.

例4請你至少給出3種不同方案，將其分成面積相等的五個部分，并指出哪五個部分面積相等（只需在圖中保留分割痕跡和必要的標注，不寫做法）.

解析本題是一道策略開放題，它的數學背景是土地劃分問題，具有多種設計方案，需要靈活運用三角形面積公式和分割平面圖形能力，現給出下列4個方案（如圖）.

圖6：BD=DE=EF=FG=GC；

圖7：BD=DC，AE=EF=2FD；

圖8：BD=DE=EC，AF=BF，AG∶GC=2∶3；

圖9：BD=DE=EF=FC，GC=4AG.

四、綜合開放題，有助于培養學生分析能力

綜合開放題，因其題目的條件和結論都不太明確，若條件更改，則結論發生變化，這就出現什么樣的條件就有什么樣的結論，這就要求我們學會分析問題，探求各種不同解決問題的方法.

例5設函數y=x2+2bx+c（b為整數，c為實數），已知自變量x分別取-3，-1，2，5這四個值時，有且只有一個x所對應函數值y≤0，試盡可能多地寫出滿足條件的函數解析式.

解析本題是一道綜合開放題，運用分類和數形結合的思想方法是解決本題的基本策略.如圖.

（1）當x=-3時y≤0，而當x=-1，2，5時y>0，此時符合條件的函數至少有y=（x+4）2-k（0≤k<9）；y=（x+3）2-k（0≤k<4）（圖10）.

（2）當x=-1時，y≤0，而當x=-3，2，5時，y>0，此時符合條件的函數至少有y=（x+1）2-k（0≤k<4）；y=x2-k（1≤k<4）（圖11）.

（3）當x=2時，y≤0，而當x=-3，-1，5時，y>0，此時符合條件的函數至少有y=（x-1）2-k（1≤k<4）；y=（x-2）2-k（0≤k<9）；y=（x-3）2-k（1≤k<4）.

（4）當x=5時，y≤0，而當x=-3，-1，2時，y>0，此時符合條件的函數至少有y=（x-4）2-k（1≤k<4）；y=（x-5）2-k（0≤k<9）；y=（x-6）2-k（1≤k<16）等等.

總之，數學開放題的教學核心是培養學生思維的發散性、觀察力和想象力，培養學生思維的靈活性及創新能力.當今科技的每次重大的突破、經濟和社會的每次重大的進步都離不開人類創造能力的發揮，因此，培養學生的創新思維能力，教給學生科學的思維方法，是當前素質教育的首要任務.