利用一題多解、一題多變來提高初中學生的數學解題能力

蘇淑妮

（廣東省惠州市惠陽區崇雅中學 廣東 惠州 516000）

【摘要】 數學課程標準中，要求使學生站在不同角度，探索分析和解決問題的方法，此外，教育心理學也指出：問題解決有兩種類型：一是常規性問題解決；二是創造性問題解決。通過一題多解、一題多變訓練，使學生能夠體驗到解決問題的多樣性方式，能夠掌握分析及解決問題的基本技巧和方法，使所學的知識得到活化，融會貫通，開闊思路，培養學生的發散、創新思維能力。

【關鍵詞】 一題多解 一題多變 初中數學 發散思維

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）04-173-01

先觀察以下4個例題，是初中數學練習過程經常碰到的，具體的解答過程后文有詳細的描述，以此四個例題用以論述本文的觀點。

例1：相切兩圓半徑分別是4和6，求圓心距。

例2：在幾何題型中：直角三角形兩邊長3和4，求第三邊。

例3：一道求證題：順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形

變式1：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形

變式2：順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形

變式3：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形

變式4：順次連接什么四邊形各邊中點可以得到平行四邊

變式5：順次連接什么四邊形各邊中點可以得到矩形

變式6：順次連接什么四邊形各邊中點可以得到菱形

例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點.求證：CE⊥BE.

一、一題多解、一題多變幫助學生循壞往復調動所學知識，強化記憶

在學習生涯中，知識點是解題的基礎和靈魂，千千萬萬的題目是從知識點出發延伸設計出來問題考察學生的。由于時間和空間有限，學生不可能做完所有的題目，對于教師也不可能講解完所有的題目。而對于數學，單是一道題目中也不可能只有一個知識點的考察，例題1這道題中涉及的知識點有：相切圓、半徑、圓心距，最終的問題雖然是求圓心距，但是如果沒有正確的對于圓、半徑以及相切的概念，那么也就無從下手。當然答案需要分內切和外切兩種情況來考慮，這又需要解題者腦海中調動關于內切和外切的知識，才能準確解答。例題2也是相似的情況，首先有直角三角行的概念，運用會勾股定理，同時考慮到第三邊是斜邊、直角邊兩種情況才能正確解答。此外，有的學生也會聯想到：三角形任意兩邊長的和會大于第三邊，這一三角形的知識。從例題3中，由一個題可變換出許多變式，又都是相互聯系的。核心的知識點是平行四邊形的定義以及相關的性質，學生在看到這樣的一類題就應該充分加以運用解題，便又是一次知識回顧的過程。

二、一題多解、一題多變培養學生對所學知識的綜合靈活運用以及發散思維的能力

在同一個題目下，變化問題，從而訓練學生解答各種題型的綜合能力，培養學生思維的適應性和靈活性，有助于學生創新思維品質的養成。例題4中，可以通過3種解答方法解答，（見下文）。充分涉及了多個知識點的綜合運用，靈活有條理，以此為例，將得到良好的發散思維的效果，同時起啟發作用，將得到良好的教學效果。例題3種還可以經以下變式：將求證CE⊥BE，改為選擇題，變換為下列哪些條件可以求證結論；也可以作為一道開發性的填空題，讓學生添加一個條件即可以得到結論。同樣的題目，求證答案不一樣，思考的方向不一樣。給以了學生更多的思考空間，也培養了學生逆向思維能力和創造性思維能力。

解答1：延長CE交BA的延長線于點G，那么可得△CDE≌△AEG，

則CE=GE，AG=1，又AB=2，所以BG=3，又因為BC=3，所以BC=BG，在△BGC中，由三線合一定理得：CE⊥BE.

解答2作CF⊥AB，在Rt△CBF中，由勾股定理易得：=8，又E是AD的中點，故DE=AE=，分別在Rt△CDE和Rt△BEA中，由勾股定理易得：在Rt△CBE中，由勾股定理的逆定理可得：△CEB是Rt△，即CE⊥BE得證。

解題3：取CB的中點F，連結EF，則EF是梯形CDAB的中位線，易得EF=2，則EF=CF=BF，則∠CEF=∠FCE，∠FEB=∠FBE，在△CEB中，由三角形內角和定理易得∠CFB=90°，即CE⊥BE.

三、一題多解、一題多變培養學生多角度思考問題能力，嚴謹的思維

從以上例題同時可以培養學生多角度，多方探討的能力，嚴謹思維。例題1，例題2，若學生只從一個角度：內切或者外切，第三邊是斜邊或者直角邊，那么對于此類題型只會得到一個結果。如果在長時間的訓練，學生會對此題型形成一定的思維定式，多角度思考問題，在大題主觀題中不論何種解題方法，思維是清晰嚴謹的，有理有據。經過對對同一數學問題的結論多種途徑方法探討。在教師啟發和引導下，學生從不同角度、不同思路，運用不同的方法和不同的運算過程，解答同一道數學問題，充分調動學生思維的積極性，提高他們綜合運用已學知識解答數學問題的技能技巧；開闊了學生的思路，引導學生靈活地掌握知識的縱橫聯系，培養和發揮學生的嚴謹思維能力。在對待其他的問題中也能如此思路解決。

綜上，講述了一題多變，一題多解對學生多角度思考，逆向思維、靈活運用知識、綜合運用知識，培養創造性思維和發散思維有著重要的意義。教師在平常教學中，應該多運動變式，拓寬問題的深度和廣度，注重對學生上述學習習慣與能力的培養。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]徐國安.借助一題多解提升學生的解題能力[J].科技信息2017，19：346-347.

[2]高衛國.注重一題多解，一題多變培養學生發散思維能力[J].林區教學2010，6：36-40.

[3]譚珊.利用多題一解和一題多解提高學生數學解題能力[J].生活教育2014，14.