黎曼—勒貝格定理幾何意義的實驗教學法探討

梁海華+黃鳳英+張冰

【摘要】本文探討了在數學分析課堂中，利用計算機軟件探索黎曼-勒貝格定理幾何意義的實驗教學法，給出了實驗步驟和Mathematica程序設計以及教學方法.

【關鍵詞】黎曼-勒貝格定理；幾何意義；教學探討

【基金項目】本文系2016年廣東省高等教育教學改革項目《基于數學實驗的數學專業分析類課程的教學改革探索》（粵教高函[2016]236號）成果之一.

一、引言

在華東師大版《數學分析》教材下冊，為了證明傅里葉收斂定理，需要用到貝塞爾（Bessel）不等式.而后者可以直接推出如下著名的結論：

定理A若函數f在[-π，π]上（黎曼）可積，則

limn→∞∫π-πf（x）cosnxdx=0，limn→∞∫π-πf（x）sinnxdx=0.

這個結論稱為黎曼-勒貝格定理.

定理B若f∈L1（[a，b]），則limλ→+∞∫baf（x）cosλxdx=0，limλ→+∞∫baf（x）sinλxdx=0.

此外，人們還把該定理拓廣到更廣泛的情形（如cosλx可換成普通的周期函數）并應用它來解決諸多重要問題.

由此可見，黎曼-勒貝格定理是分析學中一個非常重要的定理.然而，在數學分析的課程體系中，它僅僅是作為傅里葉級數收斂定理的預備定理的一個推論出現.因此，通常的教學中，絕大部分教師往往一筆帶過，學生也沒有留下多少印象.而在實變函數的課程中，教師往往注重講解定理的證明和應用，忽視了對定理深層含義的挖掘.

那么，教師在數學分析課堂中該如何講授這個定理，才能讓學生理解它的深刻本質呢？我們注意到，定理A有著很強的幾何意義，只要由淺入深把它的幾何意義展示給學生，就能取得非常好的教學效果.下面將介紹我們在實踐中利用數學軟件Mathematica開展的實驗教學方法.據我們所知，目前尚未有文獻涉及這樣的探討.

二、黎曼-勒貝格定理的實驗教學法

在教學過程中，我們在完整地講完用貝塞爾不等式證明傅里葉收斂定理后，以一個小專題的形式探討黎曼-勒貝格定理幾何意義，整個教學課程大約需要25分鐘.首先提出實驗目的：探討黎曼-勒貝格定理（定理A）的幾何意義.

然后給出如下實驗步驟：

1.取f（x）≡1.觀察函數f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在區間[-π，π]上的圖像；從幾何角度思考∫π-πcosnxdx=0的原因.

2.取f（x）=（x-1）2.作出函數f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在區間[-π，π]上的圖像；用Mathematica軟件計算數列an=∫π-πf（x）cosnxdx；觀察{an}的趨勢并從幾何角度思考產生這種趨勢的原因.

3.任取其他可積函數f（x），作出f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在區間[-π，π]上的圖像；從幾何角度思考∫π-πf（x）cosnxdx是否趨于零.

4.從以上三個步驟的探討中，你發現∫π-πf（x）cosnxdx趨于零的原因是什么？

教師在課堂上引導學生按照上述步驟展開思考，進行啟發式教學.

探討：1.取若干正整數n，用Mathematica作出函數cosnx在區間[-π，π]上的圖像.例如，以n=5和n=20為例，得到如下圖像：

觀察發現：cosnx在[-π，π]上下等幅振動，上半平面的曲線與x軸圍成的“正”面積恰好等于下半平面的曲線與x軸圍成的“負”面積的絕對值.而∫π-πcosnxdx=0就是正負面積完全抵消的結果.

2.取若干正整數n，作出函數（x-1）2cosnx在區間[-π，π]上的圖像.例如，當n=9時，圖像如下：

再用Mathematica計算出n=51，52，…，59時∫π-πf（x）cosnxdx的準確值和及n=1001，1002，…，1010時的數值近似值，分別如下：

從計算結果可以看出，隨著n不斷增大，積分值越來越接近0.

提問學生：為什么此時，積分值不為零，但又趨于零呢？原來，與f（x）≡1的情形不同，此時被積函數的圖像雖然上下振動，但正負面積卻不能完全抵消.這就是積分不為零的原因.然而，隨著n的增大，cosnx的頻率越來越大.在它的帶動下，（x-1）2cosnx圖像上下振動越來越頻繁，曲線夾成的“拱橋”越來越狹窄，導致正負面積差別越來越小直至微乎其微，從而積分值越來越接近零.

3.請學生任取其他函數，例如，取f（x）≡ex/15sinx3ln（x2+1），得到n=1，2，…時函數f（x）cosnx的圖像系列.以下我們僅給出n=20時函數的圖像：

引導學生觀察：隨著n越來越大，曲線與x軸圍成的圖形的正負面積，在很大程度上可以互相抵消.因此，函數在[-π，π]上的積分越來越接近零.

4.經過以上三步由淺入深的觀察和探討，我們發現，黎曼-勒貝格定理中，積分趨于零的幾何意義是：當n很大的時候，曲線cosnx在區間[-π，π]上高頻振動，不管曲線f（x）是何種可積函數，它與cosnx相乘后也高頻振動起來.由此產生的結果是：曲線f（x）cosnx與x軸圍成的圖形的正負面積可以大幅度抵消，導致f（x）cosnx在[-π，π]上的積分越來越小直至為零.

三、結語

通過上述實驗教學，我們清晰地向學生揭示了黎曼-勒貝格定理的幾何意義，也讓學生理解了這個定理的深刻意義.另外，數學分析課程中還有不少定理和概念也可以借助計算機軟件來探討它們幾何意義.這種教學方法，讓原本枯燥無味的課堂變得生動有趣，給學生創造了很大的觀察和思考空間.因此，這無疑是培養創新性數學人才的一個有效途徑.