高等數學中極限概念教學的幾點思考

王麗英+孫慧靜+袁健

【摘要】極限是高等數學的理論基礎，是步入高等數學殿堂的門檻，用它定義了微積分的基本概念，利用極限的思想方法給出了連續函數、導數、定積分、級數的斂散性等概念.文中分析了極限思想在高等數學教學中的作用及地位，結合教學實踐，給出極限概念教學的幾點意見.

【關鍵詞】極限概念；極限思想；高等數學；教學

極限概念是微積分學的奠基概念之一，微積分中幾乎所有的重要概念，如連續、導數、定積分、重積分、級數等定義都是建立在極限概念的基礎上.極限概念是學習高等數學過程中遇到的第一個較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學好高等數學的關鍵，也是教學中的重點和難點.

一、極限概念學習困難的原因

（一）極限概念自身的特點

極限概念的形成，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性，學習這一概念時，需要用到原有的數學認知結構中的相關概念，進行正確的心理表征，以建立概念的邏輯運演.此外，極限概念的定義、邏輯結構較為復雜，符號較多，數量關系錯綜復雜，也導致學員很難掌握.

（二）學員的自身特點

對于剛步入軍校的部分學員，思想還被高考的壓力禁錮著，沒有完全適應大學的學習方法和教員的教學方法，對數學的學習仍以解題為主，很少關注數學的思想方法，即主要精力在微積分的計算上，缺乏對概念本質的理解，存在一種對概念本質理解感到恐懼的心理特點.

二、極限概念教學

對極限概念及極限思想的掌握程度，直接影響著高等數學的學習效果，因此，在實際的教學過程中，為了幫助學員更好地掌握極限的概念，讓學員能夠更深層地理解極限的概念，我們可以從以下幾個方面入手.

（一）貫穿數學史，激發學習興趣

在授課過程中，我們經常會發現，如果只干巴巴地講一些理論，會導致學員聽起來索然無味，更有的學員會問：“教員，我們學這些有什么用？”

我們知道興趣是最好的老師，只有讓學員了解極限思想的發展脈絡，才能提升學員的好奇心，培養學員學習極限的興趣.極限思想作為一種哲學和數學思想，在其漫長曲折的演變歷程中充滿了眾多哲學家、數學家們的奮斗足跡，閃爍著人類智慧的光芒.因此，教員在講授極限概念之前，可適當介紹微積分的發展史、極限的萌芽、發展到完善的過程，讓學員認識到極限在高等數學中的重要性.通過運用極限思想的具體例子，如劉徽《九章算術》記載的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”、戰國時期《莊子.天下篇》惠施說的“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”等，引入極限的概念，激發學員的學習興趣，使學員了解極限就是為了求解實際問題而產生的.同時，可以提示學員隨后課程學習中曲邊梯形的面積、曲線弧長、曲面體的體積等等均是利用極限的思想加以解決的，讓學員充分了解極限在微積分中的地位與作用、感受極限的思想，引導學員在學習過程中，探索新的學習方法，為今后系統學習高等數學奠定良好基礎.

（二）多種思維講解極限概念

1.由直觀性描述過渡到精確定義

極限概念由描述性定義到定量形式的轉化，是教學中的關鍵和難點.在教學過程中可由特殊數列極限出發，一步步給出極限的ε-N定義，幫助學員理解極限的概念與思想.

2.具體實例幫助理解ε與N的二重性

ε與N的二重性是極限概念學習中的難點.ε具有絕對的任意性和相對的固定性，用于刻畫數列中的項an與某一確定常數a的接近程度，可以是要多小有多小的正數，這是ε的本質特征.同時，當取定一個ε以后，它就具有了暫時的固定性，其目的是要依靠它來求出N，即N隨ε的變化而變化，但N并不唯一.用定義證明極限時，我們傾向于找到最小的N，故在講授時，結合具體實例加以說明，學員將會更加容易接受.

3.利用幾何含義理解極限概念

著名數學家華羅庚先生曾經指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬分休.”“數”與“形”往往可以同構，也就是說數形結合可幫助我們深刻、全面地對概念加以理解.以數列極限的圖形解釋為例，通過在數軸上表示an與a的關系，以加深學生對極限概念的理解和掌握.

三、后續學習中體會極限的思想

極限思想貫穿高等數學的始終，在學習極限章節后的其他知識點時，有意識地引導學生體會極限思想，能幫助學生更深刻地體會極限思想，起到再次學習、鞏固、升華學習效果的作用.

極限思想是高等數學學習中的重點、難點，教學過程中若有意識引導學生體會極限的思想方法，體會其在高等數學中的作用及重要性，通過恰當的教學方法幫助學生理解極限概念，以讓學生更深入地掌握及理解高等數學的思想和方法.作者在文獻資料和教學實踐的基礎上，提出了以上的關于極限概念教學的幾點方法，希望對極限概念的教學工作有所裨益.

【參考文獻】

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