導數在不等式證明中的應用
2017-04-18 18:36:22丁江
數學學習與研究 2017年7期
丁江
【摘要】證明不等式有很多種靈活的方法，但對于一些結構特殊或較為復雜的不等式，直接利用比較、分析等傳統的證明方法，往往難以奏效，新課程中導數的引入給不等式的證明帶來了方便.
【關鍵詞】不等式證明；函數值；導數；證明方法
導數最早是在研究極值的問題中提出來的，導數是學習微積分的知識基礎，是進行函數研究、解決實際應用問題的關鍵突破點.無論是初等數學還是高等數學，導數研究的內容主要集中在以下三個方面，即：利用導數研究函數的單調性、尋找函數的極值以及導數對現實問題解決的具體應用.
用導數證明不等式的關鍵在于函數模型的構建，而函數模型構建的關鍵是怎樣根據題目要求構建一個可導函數，最后，根據可導函數的求導方法把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值的問題.本文針對函數的單調性、函數的極值和具體的不等式證明方法進行了詳細的案例研究，文章主要對三種常用方法進行解答，旨在探尋系統的題目解答體系，增強學生的問題理解能力和開創性探索思維.
一、構造法證明函數不等式
對于構造函數不等式的方法具體可以分為以下三大步驟：
1.對于左右兩邊結構相同的不等式或者是可變形化簡為兩邊結構相同的不等式，構造函數f（x），使其成為f（a）>f（b）的形式.
2.對形如f（x）>g（x）的結構形式，構造函數F（x）=f（x）-g（x）.
3.通過求導找出單調性和最值進行具體的證明.
例1已知函數f（x）=ln（x+1）-x，證明：當x>-1時，函數式1-1x+1≤ln（x+1）≤x恒成立.
分析本題是一個雙邊不等式，右邊的函數值題目中已經給出，重點在于左邊函數的證明，對于這種直接求導相對簡單的不等式形式，我們可以利用直接構造的方法進行題目的求解.左邊可以構造一個新的函數表達式，形如g（x）=ln（x+1）-1+1x+1，然后進行求導證明，發現函數的單調性及單調區間或者找出函數的極值即可進行計算.
證明∵f′（x）=1x+1-1，
∴當-1
即函數在區間（-1，0）上為增函數；在區間（0，+∞）上為減函數，
∴x=0時，函數f（x）在區間（-1，+∞）上取最大值.
即f（x）max=f（0）=0，
所以，當x>-1時，
f（x）=ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x.
對于函數左邊的求證：令g（x）=ln（x+1）-1+1x+1，則g′（x）=1x+11-1x+1.
同理可得，當-1 當x>0時，g′（x）>0， 故函數在區間（-1，0）上為減函數；在區間（0，+∞）上為增函數， ∴x=0時，函數f（x）在區間（-1，+∞）上取最小值. 即g（x）min=g（0）=0. 所以，當x>-1時，g（x）≥0， 即ln（x+1）-1+1x+1≥0，函數1-1x+1≤ln（x+1）， 綜上所述，當x>-1時，1-1x+1≤ln（x+1）≤x恒成立. 二、作差法證明函數不等式 作差法是證明不等式的一種常用方法，其操作簡單，應用難度小且學生容易掌握.一般來說，對于形如f（x）>g（x）或f（x） 例2當x>0時，證明x-x22 分析學生拿到題目后應該首先分析本題的組成結構，本題符合差數形式f（x） 證明令Z（x）=x-x22-ln（x+1）<0（x>0）. 將函數求導得Z′（x）=-x2x+1. ∵x>0，∴Z′（x）<0， 所以不等式x-x22 三、換元后求導再證明不等式 換元思想是我們在中學階段接觸到的最重要的數學解題思想，換元法可以應用于數學學習的始終，并且在三角函數、函數、數列、不等式等解答過程中都得到了具體的應用.換元法又稱為等量替換法，其實質就是對元的等量轉換，文章將從一個具體的例題對解不等式的換元法進行詳細的解讀. 例3已知f（x2+1）=loga（4-（x2）2），則f（x）的值域為多少？ 分析對于一般的函數求值域是比較簡單的事情，但是本題的函數結構形式復雜，不能直接求出值域，因此，需要借助換元法減少變量，從而得出函數的值域. 解令t=x2+1，則x2=t-1，所以f（t）=loga[4-（t-1）2]， 因為t≥1，4-（t-1）2>0，所以，1≤t<3， 所以f（x）的定義域為[1，3）， 所以f（x）的值域為f（x）≤loga4. 以上便是對構造法、作差法和換元法三種基本解題方法的基本闡述，眾所周知，導數是中學數學的重要部分，利用導數的單調性以及極值證明不等式是解決不等式問題的一個有效辦法，它可以使許多復雜的不等式問題簡單化，從而更有利于學生的學習和掌握. 【參考文獻】 [1]周曉農.導數在不等式證明中的應用[J].金筑大學學報，2000（3）：107-110. [2]曾捷.數學分析同步輔導及習題全解[M].北京：中國礦業大學出版社，2006.
