“平面與平面垂直”教學(xué)設(shè)計(jì)

蔣頡

一、課程分析

平面與平面垂直關(guān)系是線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系中的最高層次.通過線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，是一種判定兩平面垂直的重要方法；利用平面與平面垂直的性質(zhì)可以證明線面垂直，也是做平面垂線的重要方法，因此，線線垂直、線面垂直、面面垂直這三者之間的關(guān)系非常密切，可以相互轉(zhuǎn)化，本節(jié)的學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著極其重要的地位.

二、設(shè)計(jì)思路

本課為新授課，積極踐行新課程理念，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.學(xué)生的學(xué)習(xí)過程要成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，教師應(yīng)充當(dāng)指導(dǎo)者、合作者、組織者、促進(jìn)者和助手的角色，與學(xué)生共同經(jīng)歷知識(shí)探究的過程，使學(xué)生以探索者、研究者的身份，動(dòng)腦思、動(dòng)手做、動(dòng)眼看、動(dòng)口議、動(dòng)筆寫、動(dòng)耳聽、動(dòng)情讀，全身心地參與學(xué)習(xí)活動(dòng).

根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，教師挖掘教材中的探究點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，形成師生、生生之間多向的討論、交流與合作，以設(shè)疑、激疑、導(dǎo)疑、釋疑來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的情意.

遵循“探索—研究—運(yùn)用”即“觀察—思維—遷移”的三個(gè)層次要素，教師“誘”在點(diǎn)上，學(xué)生動(dòng)腦思，動(dòng)手做.由文字語言到圖形語言再到符號(hào)語言，使學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，整個(gè)教學(xué)過程遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—?dú)w納總結(jié)”的認(rèn)知規(guī)律，注重發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，降低幾何證明的難度.

三、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)技能

1.能歸納出平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并證明定理；

2.通過對(duì)兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的作用的挖掘，進(jìn)一步體會(huì)線線垂直與線面垂直的密切關(guān)系，從而從更高的角度把握空間直線與平面的位置關(guān)系.

（二）情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、證明的科學(xué)思維方式及辯證思維能力，體驗(yàn)成功的愉悅感受，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.

四、重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：平面與平面垂直判定定理及性質(zhì)定理的理解及推導(dǎo).

教學(xué)難點(diǎn)：平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理的掌握及應(yīng)用.

五、教學(xué)流程

（一）情境導(dǎo)入，直觀感知

1.創(chuàng)設(shè)情境，溫故求新.

【課件投影】

請(qǐng)回憶平面與平面垂直的定義.

如果兩個(gè)平面所成的二面角是直角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.

2.實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，直觀感知

通過教師引導(dǎo)學(xué)生觀察門總是與地面垂直的事實(shí)，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)面面垂直的判定定理，能用文字語言敘述判定定理，但不夠嚴(yán)謹(jǐn)，默讀面面垂直的判定定理.

（二）歸納研究，深化定理

1.實(shí)踐確認(rèn)面面垂直的判定定理.

（1）形成定理.

兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

（2）定理證明.

已知：AB⊥β，ABα（圖1）.求證：α⊥β.

證明：設(shè)α∩β=CD，則由ABα知，AB、CD共面.

∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B.

在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β是直二面角.

∴α⊥β.

（3）應(yīng)用舉例.

例1如圖2，已知AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.

證明∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，

又∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥BC，

∴BC⊥平面PAC，又BC在平面PBC內(nèi)，

所以，平面PAC⊥平面PBC.

說明：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC⊥平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC，這是尋找兩個(gè)平面的垂線的常用方法.

2.實(shí)踐確認(rèn)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì).

（1）形成定理.

由線面垂直可以得到面面垂直，那反之由面面垂直可否得到線面垂直，通過引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)面面垂直的性質(zhì)定理，能用文字語言敘述性質(zhì)定理.

（2）定理證明.

如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

已知：如圖3，α⊥β，ABα，AB⊥CD，α∩β=CD，求證：AB⊥β.

分析：在β內(nèi)作BE⊥CD.

要證AB⊥β，只需證AB垂直于β內(nèi)的兩條相交直線就行，而我們已經(jīng)有AB⊥CD，只需尋求另一條就夠了，而我們還有α⊥β這個(gè)條件沒使用，由α⊥β定義，則∠ABE為直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，問題也就得到解決.可由學(xué)生寫出證明過程.

圖3

圖4

（3）應(yīng)用舉例.

例2如圖4，已知AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任一點(diǎn)，求證：

（1）平面PAC⊥平面PBC.

（2）若PA=AC=BC，求AB和平面PBC所成的角.

解過A作AD⊥PC于D，連接BD.

由（1）平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，

∴∠ABC即為線AB與平面PBC所成線面角.

設(shè)PA=AC=BC=a.

在Rt△PAC中，AD=22a，

在Rt△ABC中，AB=2a，

∴∠ABC=30°.

（三）學(xué)以致用，應(yīng)用定理

練習(xí)已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足.求證：平面PAC

Symbol^A@ 平面PBD.

（證明過程略）

（四）總結(jié)反思，升華提高

1.面面垂直的判定和性質(zhì).

2.證明面面垂直的方法.

（1）證明二面角為直角；

（2）用面面垂直的判定定理.

3.面面垂直線面垂直.

（五）布置作業(yè)

P52頁6、7、8.

（六）課后反思