高考數(shù)學(xué)填空題的解題策略

張志達(dá)

填空題是高考數(shù)學(xué)試題中的一類重要題型，主要考查學(xué)生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和基本運(yùn)算能力.從填寫(xiě)內(nèi)容上，主要有兩類：一是定量型，要求填寫(xiě)數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系；二是定性型，要求填寫(xiě)具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫(xiě)給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì).解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算和合乎邏輯的推理、計(jì)算.本文就高考數(shù)學(xué)填空題的常用解題策略做一例釋.

一、直接求解法

直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則等知識(shí)，通過(guò)推理運(yùn)算，得出結(jié)論的方法叫直接法.它是解填空題的最基本、最常用的方法.

例1（2016新課標(biāo)Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sinθ+π4=35，則tanθ-π4=.

解析由題意sinθ+π4=sinθ-π4+π2=cosθ-π4=35，

因?yàn)?kπ+3π2<θ<2kπ+2π（k∈Z），

所以2kπ+5π4<θ-π4<2kπ+7π4（k∈Z），

從而sinθ-π4=-45，因此，tanθ-π4=-43.

故填-43.

二、特值代入法

當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但題目暗示答案可能是一個(gè)定值時(shí)，可以將變量取一些特殊數(shù)值、特殊位置或者一種特殊情況來(lái)求出這個(gè)定值，這樣，可簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程.

例2（2014湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函數(shù)，則a=.

解析由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，

所以f-13-f13=0，

即ln（e-1+1）-a3-ln（e+1）-a3=0，

lne-1-23a=0，解得a=-32.

三、圖像法

對(duì)一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，將問(wèn)（如，解方程、解不等式、求最值、求取值范圍）與某些圖形結(jié)合起來(lái)，使代數(shù)問(wèn)題以幾何的形式直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，利用圖形進(jìn)行直觀分析，再輔以必要的計(jì)算，則可以簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果.

例3（2014新課標(biāo)Ⅱ）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的取值范圍是.

解析因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

又f（2）=0，且f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，

則f（x）的大致圖像如圖所示，

由 f（x-1）>0，得-2

四、構(gòu)造法

在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論充分細(xì)致的分析，抓住問(wèn)題的特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)方程、一個(gè)等價(jià)命題等，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，稱之為構(gòu)造法.

例4不等式x2-3>ax-a對(duì)一切3≤x≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析由題意得，不等式a

設(shè)f（x）=x2-3x-1，則f′（x）=x2-2x+3（x-1）2=（x-1）2+2（x-1）2>0，

所以f（x）=x2-3x-1在[3，4]上是增函數(shù)，故 f（x）的最小值為f（3）=3，

所以a

五、等價(jià)轉(zhuǎn)換法

等價(jià)轉(zhuǎn)換是把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已有知識(shí)范圍內(nèi)的問(wèn)題的一種重要的思想方法.通過(guò)不斷轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

例5（2014重慶）函數(shù)f（x）=log2x·log2（2x）的最小值為.

解析f（x）=log2x·log2（2x）=12log2x·2log2（2x）=log2x·（1+log2x）.

設(shè)t=log2x，x∈R，則原函數(shù)可化為

y=t（t+1）=t+122-14，

因?yàn)樵摵瘮?shù)的最小值為-14，故f（x）的最小值為-14.