職業數學教學中特殊到一般的思想運用

程亞芳

[摘 要] 特殊到一般是數學中重要的思想方法，結合職業教育學生的特點，這種思想方法在職業數學中顯得尤為重要. 結合一個教學內容的設計，談談特殊到一般思想的重要性.

[關鍵詞] 特殊；一般；一元二次不等式；數學思想方法

眾所周知，職業教育學生屬于理性思維較弱、數學程度較差的，對于這樣的學生如何使其在數學教學過程中不反感、合理參與成為職業數學教學的難點. 課程改革行進過程的同時，對于職業教育的方向也是不斷地調整，筆者認為要想讓職業數學教育更為恰當地實施，需要以下幾方面的改變和措施：

第一，剝離形式化數學的過程和結果，以非形式化的手段和特殊化的方式作為職業數學教學的主要方向，結合職業生抽象思維能力弱這一特點，將特殊到一般的思想方法運用到教學中，并使其成為學生學習的主導思想.

第二，以往職業數學教學大都是“滿堂灌”，加上職業生注意力集中時間短的特點，造成了大部分學生聽不懂就不聽，后續更聽不懂，導致惡性循環，因此要改變參與的方式，盡可能多地讓學生來講述問題的解答和過程.

第三，鼓勵學生積累數學問題從特殊情形的思考，進而轉化為一般情形的學習經驗，對于學習方式的總結和積累將大大增加職業學生的學習經驗和生活經驗.

筆者以一元二次不等式解法的設計，結合從特殊到一般的數學思想方法與讀者一起探討：在學生學習一元二次不等式求解方法的過程中會存在兩方面的困難：一是要將一元二次方程、一元二次不等式與二次函數結合在一起，理解三者之間的關系，同時要借助一元二次函數的圖像解一元二次不等式，需要學生具備一定的數形結合的思想.二是一元二次不等式的情況較多，考慮起來較復雜，需要學生具備一定的討論和歸納總結能力，考慮問題時要全面，做到不重不漏.

[?] 溫故知新 引入課題

讓學生復習回顧上一節課所學習的內容，回顧一元二次不等式的解集的概念和a>0，a=0兩種不等式的求解方法，以及解題的基本思想方法和一般步驟，并完成幻燈片上的練習題.

溫故知新：解下列不等式，并回憶解不等式的一般步驟：（1）4x2-4x>15；（2）3x2-7x≤10.

預設：每個學生的掌握水平不一樣，要根據學生的實際情況進行因材施教，根據題目的難易程度選擇不同的學生進行回答，有利于學生自我價值的實現.引導學生回顧上節課總結的解題步驟：一判——判斷對應方程的根；二求——求對應方程的根；三畫——畫出對應函數的圖像；四解集——根據圖像寫出不等式的解集.

設計說明：給出兩個特殊的不等式，通過練習來復習上一節課所學內容，使學生容易理解，同時為下面內容的引出做好鋪墊.

[?] 合作探究 講授新課

思考：回憶4x2-4x>15的解題步驟，畫出解題程序框圖.

預設：學生回顧思考，試探解決. 教師幫助學生整理歸納，得出完整的解題程序框圖（如圖1）.

設計說明：由特殊到一般思想的介入，通過對具體問題的程序框圖的解決，既做到復習，也為后續學習做好鋪墊，使學生對不等式的解法在頭腦中形成一個完整的框圖步驟.

試一試：解下列不等式：（1）-x2+2x-3>0；（2）-6x2-x+2≤0.

預設：職業學生已經具備一定的類比模仿能力，大部分學生會根據二次項系數a>0的情況，類比來解決二次項系數a<0的不等式，這個過程是學生提升學習能力的過程，也是學生自主學習的體現.但是還有一小部分學習能力較弱的學生就需要教師的講解和輔導.

設計說明：前面所解的不等式都是二次項系數a>0的情況，在教師的引導下，讓學生類比嘗試解決二次項系數a<0的不等式使學生所學習的內容逐步擴大，但是不影響學生的學習，使學生在類比學習中得到強化.

從特殊到一般的思想介入：對于二次項系數是負數（即a<0）的不等式：ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0，可以先把二次項系數化成正數，再求解.

思考：大家是怎么解決這兩個不等式的？

預設：部分學生能夠將自己的解題步驟概括出一個方法來，但是還有部分學生只知道怎么解決問題，概括方法則有點困難，教師需要幫助引導歸納. 方法一：只要將a>0的二次函數圖像關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據圖像便可求得二次項系數a<0的一元二次不等式的解集. 方法二：先在不等式的兩邊同乘-1將二次項系數變為正數后，運用上節課所學習的方法來求解.

歸納總結：教師根據學生的回答進行歸納，總結二次項系數a<0的一元二次不等式的解題方法，形成解題步驟：一化——兩邊同乘-1化二次項系數為正數；二判——判斷對應方程的根；三求——求對應方程的根；四畫——畫出相應的函數圖像；五解集——根據圖像寫出不等式的解集.

[?] 學生講題，形成網絡

問題1：求不等式4x2-4x+1>0，-x2+2x-3>0的解集.

預設：學生獨立講解完成，教師板演點評.

歸納總結：列出一元二次不等式的解集與一元二次方程的根以及二次函數的圖像之間的關系（表略）.

預設：題組1的不等式，學生較容易掌握，都是類比課堂上的例題，可以運用一元二次不等式的解題程序框圖（如圖2）進行求解，但是教師需要強調計算的正確性.解題組2含參數的一元二次不等式的過程中，學生會有一定的困難，教師需要適當地進行引導，最后進行板演講解. 題組3中也是含有參數的一元二次不等式，但在教師講解題組2后學生解答起來會比較容易，困難不大，題型靈活新穎.

設計說明：課堂練習的題目難度、梯度遞增，有助于學生掌握和鞏固新知識.變式練習是讓學生對原題的解題進行模仿，加深對原題的理解和認識，同時也加深了難度，有利于提高學生對知識的綜合運用能力.

題組4：不等式x2+bx+c>0的解集為{xx>3或x<-1}，求b，c.

變式1：不等式ax2+bx+2>0的解集為{x-2

變式2：不等式ax2+bx+2>0的解集為{x-20的解集.

設計說明：通過前面習題的練習和講解，學生能夠舉一反三，解決題組4. 題組4中的兩個變式較靈活，培養學生綜合運用所學知識的能力，使學生對知識的掌握有一個梯度的提高過程.

[?] 回顧小結 深化延伸

課堂小結：通過本節課的學習，你的主要收獲有哪些？（關鍵詞：一元二次不等式的解題程序）

設計說明：先給出問題，要求學生自主小結，再推出引導性關鍵詞，使得總結簡明、到位、拔高，形成知識網絡.

延伸拓展：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.

設計說明：課后作業及時鞏固初學的知識和方法，完善對一元二次不等式一般解法的掌握. 同時拓展練習能夠鍛煉學習較好的學生，同時為下節課的學習起到鋪墊作用.

[?] 思想介入，引領深化

本課的主導是從學過的一元二次不等式4x2-4x>15的解法步驟出發，從特殊的案例回顧到努力尋求解決ax2+bx+c>0的一般情形. 但從教學實際來看，職業學生對于帶有字母的抽象不等式立刻陷入了沉寂. 筆者將課堂教學的設計從題組1的全數字到題組2的單字母，再到題組3的雙字母層層遞進，這種設計是特殊到一般的數學方法的運用，學生對于這樣的問題開始可以慢慢接受，課堂中走神、游離的學生也比較少，形成了一個循序漸進的學習過程. 相比以往的教學過程，筆者認為職業數學教學利用合理的思想方法有了一定的進步.

從這樣的教學中，筆者也深深認識到了一般到特殊思想方法對于學生學習的重要性：第一，無論在學習何種章節的數學知識，筆者認為對于職業教學而言，這一思想都是經驗化的總結，對于形式化程度要求并不高的職業數學教學而言是合適的；第二，這種思想在數學教學中的運用，還能激發學生對于生活方面的思考，很多實踐都是特殊情況到一般情形的總結，思想方法的運用值得教師關注.