開幾何直觀之源活思維創新之水

馬熙君

[摘 要]幾何直觀是一種利用圖形分析與解決問題的形象化策略。課堂教學中，教師運用幾何直觀指導學生解決數學問題時，必須注重強化概念與算理，引導學生學會轉換探究的視角，揭示數學問題的本質，最終形成數學思想。

[關鍵詞]幾何直觀 創新思維 形象思維 概念 算理 數學思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）32-028

《數學課程標準》（2011版）指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”幾何直觀在數學學習中有著極其重要的作用，有助于催生解決問題的有效策略。

二、“不識廬山真面目，只緣身在此山中”——活用幾何直觀，需要轉換探究視角

“創新思維是數學最美的花朵”，當一個人局限于目前封閉的問題情境中去研究問題時，他的思維是單一的、有局限性的，而當他跳出問題的框架后，才可能以與眾不同的方式解決問題。

如對上述分數加法這一題，其實需要學生跳出問題的框架去研究，特別是學生需要有整體“1”的觀念。由于上題每次相加都是一個小于1的結果，所以學生往往不會去思考整體“1”中的不足部分，但這個不足“1”的部分正好是問題解決的突破口，使解決問題的思路變得清晰起來。一般而言，在通過幾何直觀分析、解決分數問題時，學生都會去研究整體“1”的，因為隨著加的步數的增加，答案已經逐漸接近“1”了。因此，學生在借用幾何直觀分析問題時，要學會從問題的另一個角度看問題，才能看到問題的“廬山真面目”。

三、“春色滿園關不住，一枝紅杏出墻來”——善用幾何直觀，揭示問題本質

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，數學家華羅庚高度總結了數形結合在數學學習中的重要性。數形結合，包括將數的問題轉化成形來直觀理解和將形的問題用數來表述達到規范與具體化兩個方面。其實，分數問題的解決往往離不開分數的基本性質，教師在教學一道題的解題思路時，如果只是從這道題出發就題論題，學生往往會出現思維卡殼的情況。

如異分母分數加減法的算理是同分母分數加減法與分數的基本性質。那么，通分的原理是什么？說白了就是分數的基本性質——分數的分子和分母同時擴大或者縮小相同的倍數（0除外），分數的大小不變。而分數的基本性質又是怎么來的呢？這還得通過幾何直觀來分析說明。又如，上述分數加法運算題，顯然命題者已經把訓練的重點從通分這一方法的層面轉移到分數的基本性質與畫圖技能上來，所以教師教學時就有挖掘問題背后知識本質的必要，需要抓住主要矛盾與核心要素，才能使學生學得輕松且能舉一反三。

四、“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”——借用幾何直觀，展示幾何思維

教師要引導學生通過圖形的直觀來挖掘形與數之間的本質聯系。苑建廣發表觀點認為：“幾何直觀能力的形成，需要經歷以下幾個層次：（1）建立和形成敏捷、準確的幾何直覺———感覺與圖形相隨；（2）實施和進行深入靈活的幾何探索——視覺與思維共行；（3）成為分析、解決問題的有效工具———抽象與形象互輔。”課堂中，使學生形成與視覺形象共行的抽象邏輯思維，是數學教學的較高境界，而通過語言交流能讓思考的方向明晰化，發展學生的幾何思維。

如上述這道分數加法題，可有以下探討的問題：一般的通分方法在計算這道題中有什么困難？這道題中各加數的分母有什么特點？前兩個數相加，怎么用圖形來表示？你發現了前兩個數、前三個數、前四個數相加的結果有什么特點？為什么？你認為這道題的結果會是多少？理由是什么……讓學生通過口述把問題的產生與探究過程分析清楚，使思維與思維發生碰撞，這樣學生的數學抽象思維就會如“千樹萬樹的梨花”一樣萌生。

五、“等閑識得東風面，萬紫千紅總是春”——利用幾何直觀，領悟數學思想

數學思想是數學解題方法的統領性策略，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識。這里有必要澄清幾何直觀與數形結合兩個概念間的區別：數形結合包括借形析數與借數析形兩個方面，而幾何直觀重在借形析數，指向的是幾何解決問題的方法，并不一定需要代數的參與；從所屬范疇來看，數形結合是一種數學思想，而幾何直觀則屬于解題方法的范疇。

從上述這道分數加法題的解答來看，其中可以滲透的數學思想有極限、數形結合、轉化、整體思想等，但數學思想的領悟必須通過實際演練才能形成。那么，什么是轉化思想？由于不足整體“1”的部分更有助于問題的研究，于是我們把問題的落腳點由原來的實際數字部分轉換到這個空缺部分來進行研究，即轉化思想的運用。什么是整體思想？在問題的解決中，聯系整體“1”來解決問題就體現了整體的思想。至于極限思想，小學生也可以初步感知：答案越來越接近1，而始終沒有達到1的結果。所以，這一題的指導與解答過程運用的是幾何直觀的方法，其中隱含大量的數學思想。幾何直觀中滲透數學思想，使學生的數學思考逐漸由陌生到熟練，由熟能生巧最終達到“萬紫千紅”的境界。

綜上所述，借助幾何直觀，學生的想象更豐富了，創意更新穎了，思路更流暢了，這就是幾何直觀的魅力！

（責編 藍 天）