義務教育階段幾何直觀分析框架

唐平 付天貴

摘 要 數學中的直觀是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想所產生的對事物關系直接的感知與認識。幾何直觀是一種能力，主要是指利用圖形描述和分析問題。從感知、理解、把握和推理四個水平建構了義務教育階段幾何直觀的分析框架，框架為義務教育階段學生幾何直觀的測試和發展研究奠定了基礎。

關鍵詞 義務教育 幾何直觀 分析框架

一、問題提出

發展學生的數學素養是數學課程改革的目標。為此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了要發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、模型思想、應用意識和創新意識。幾何直觀是標準提出的十個核心概念之一，它在內容、意義和方法上遠遠超過對幾何圖形本身的研究范疇，在平面幾何、代數運算、解析幾何、函數分析、概率統計、立體幾何等領域都用到幾何直觀，它貫穿數學的整個領域和數學學習與研究的整個過程，成為近年來關注的熱點。在CNKI數據庫中以幾何直觀為主題進行文獻檢索，1951年至1959年有關文獻有25篇，1960年至1966年有25篇，1967年至1979年有16篇（1967年至1975文獻顯示為0篇），1980年代至新世紀前10年每年文獻見表1.

近5年，檢索到的以幾何直觀為主題的相關文獻分別是556篇、636篇、689篇、791篇、427篇（注：2015年文獻只統計到8月份）。從文獻統計可以看出，新課程實施以來，特別是《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布以來，幾何直觀受到數學教育界的廣泛關注。

二、幾何直觀的內涵

早有研究論及直觀和幾何直觀。1951年《人民教育》第三卷第一期刊登徐特立先生《各科教學法講座》[1]一文，在論及辯證邏輯和形式邏輯的區別時，引用恩格斯用高等數學和初等數學的區別進行說明，“初等數學是技術的，因為它的數量是固定的、靜止的，帶直觀性的，直接出來數量的，如算術、初等幾何”，這是較早把直觀概念與數學內容聯系起來的文獻。1952年中央教育部翻譯室翻譯的《蘇聯初等學校算術教學大綱》中提到學生獲得直觀幾何的基本知識及實際應用這些知識的技能，認為學習幾何教材，應該用直觀教學法，并給學生一些實際經驗[2]。其后，有研究者論述了直觀教具的制作（胡元愷，1956；錢林坤，1958）。顯然這里的直觀幾何是課程名稱，直觀教學法是一種教學方法。1982年，上海市數學會邀請法國科學院院士G.Choquet在上海市科學會給數學教師做報告，報告論及幾何的作用和數學中的直觀，在總結法國新數學的經驗時，G.Choquet院士說：“在新數學的探索中，他們忘記了不經充分試驗而作根本性改變總有極大風險的……這種想法使他們忘記了學生，忘記了直觀，特別是幾何直觀的作用”[3]。這里出現了幾何直觀一詞。此后，較多研究涉及幾何直觀。

直觀是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識。對于幾何直觀，一種觀點認為，幾何直觀是進行數學問題解決的方法。在此觀點下，研究者研究了運用幾何直觀進行不同學段、不同領域的數學問題的理解和解決（李長明，1986；鄭樹鈺，高洪義，楊貴林，1990；詹青松，1991；黨四善，1999；華瑛，2011；王海俠，孫和軍，2014；華旦玲，2014），或是研究借助幾何直觀加強數學教學的理解（王敬庚，1993；范秋君，1996；戴年寶，1999；黃偉星，顧曉華，2011；蔡宏圣，2013；宋曉燕，黃翔，2013；陳濤清，2015）。研究認識到了幾何直觀對于數學學習和理解的作用，但并未對幾何直觀是什么給予明確說明。一種觀點認為幾何直觀是一種思維形式。徐本順，商應鋼（1984）認為，在科學創造的過程中，既有形象思維，又有抽象思維，另外還有介于二者間的中間環節，借助于幾何直觀進行思維就屬于這樣一個中間環節。幾何直觀既有形象思維，又有抽象思維，這是一種重要的思維形式。蔣文蔚（1997）認為，幾何直觀是一種思維形式，它是人腦對客觀事物及其關系的一種直接識別或猜想的心理狀態。也有研究者認為，幾何直觀是一種能力。數學中的直觀是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知[4]。2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》明確提出要培養和發展學生的幾何直觀能力；《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀是一種能力的觀點得到國內學者廣泛的認同[5]。

由此可見，幾何直觀就是利用圖形描述和分析問題，它是一種能力，幾何直觀能力就是利用圖形描述問題、分析問題、解決問題的能力。幾何直觀是在直觀感知的感性基礎之上所形成的理性思考。由于數學的研究對象是空間形式和數量關系，所以幾何直觀就是學習者借助于圖形的形象關系對空間形式和數量關系進行感知、理解和把握，是學習者對于數學對象的幾何屬性或與幾何屬性密切相關的一些屬性的整體把握和直接判斷。幾何直觀研究對象超越幾何圖形本身研究范疇，包括了數與代數、圖形與幾何、統計與概率學科領域。

三、幾何思維水平研究

20世紀50年代，荷蘭學者范·西爾夫婦研究了幾何思維的發展，建構了幾何思維發展的模式，該模式由認識、分析、非正式演繹、正式演繹、嚴密5個水平構成。范·西爾夫婦對每一水平都進行了描述，并指出這些水平是非連續的。然而，研究者研究了范·西爾的幾何思維水平，指出這些水平是動態的、連續的[6]。Gutierrez和Jaime（1987）通過對職前教師的測量，證明了水平1到水平4的存在和層次性，但他們認為水平5（嚴密性）有待進一步的研究確認[7]。結合后來的研究成果，80年代，范·西爾將幾何思維水平整合為直觀水平、描述水平和理論水平。直觀水平是指整體地認識幾何對象；描述水平是指通過幾何性質去描述幾何對象；理論水平是指通過演繹去證明幾何關系。阿倫·霍夫（1981）研究了幾何中的技能，認為視覺方面的技能、語言方面的技能、繪圖方面的技能、邏輯方面的技能、應用方面的技能這5個方面的技能是重要和需要訓練的，他把這5方面的技能與范·西爾幾何思維5水平整合，形成了5×5幾何技能模式。雖然范·西爾和阿倫·霍夫未直接研究幾何直觀，同時他們的研究只局限于幾何學科領域，但他們的研究為幾何直觀研究奠定了基礎。

國內對幾何思維水平的研究，幾乎都以范·西爾幾何思維模式為基礎。張和平、李俊央和項昭（2007）研究了義務教育初中數學課程中的幾何直觀性水平，同時調查了初中生幾何直觀性水平，根據他們的研究，初中學生幾何直觀水平很難達到嚴密水平。馮雪嬌、金美月（2011）從直觀水平、描述水平和理論水平三個方面研究了多元文化背景下初中生幾何認知水平，發現學生都能達到直觀水平，而不能達到描述和理論水平。盧英和黃燕萍（2014）從幾何圖形的觀察、分解、組合和想象四個方研究了初中生幾何思維水平的發展。

四、幾何直觀分析框架

幾何直觀是一種能力，是學習者借助于圖形的形象關系對空間形式和數量關系進行感知、理解、把握和推理的能力。數學學習、研究過程中，人們常借助幾何直觀去描述問題、分析問題、解決問題。以范·西爾幾何思維水平和阿倫·霍夫幾何直觀技能為基礎，結合幾何直觀的內涵，可以建構起如表2的直觀分析框架。

在中小學數學教育教學活動中，幾何直觀不僅體現在教學理念的層面，更體現在數學學習活動中，學生通過如拼圖、折紙、畫圖等活動，加深對所學數學知識的認識和理解，進行判斷和推理。義務教育數學課程標準把結果性目標分為了解、理解、掌握和運用四個水平，并對每個水平進行了描述。以上所建構的幾何直觀分析框架，與義務教育課程標準課程目標相對應，為義務教育階段學生幾何直觀能力測試和研究學生幾何直觀發展奠定了基礎。

參考文獻

[1] 徐特立.各科教學法講座[J].人民教育，1951（1）.

[2] 中央教育部翻譯室.蘇聯初等學習算學大綱[J].人民教育，1952.

[3] G.Choquet.幾何和直觀在數學中的作用[J].史數中，譯.數學通報，1982（2）.

[4] 徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J].數學通報，2000（5）.

[5] 史寧中，孔凡哲.關于幾何直觀的含義與表現形式[J].課程·教材·教法，2012（7）.

[6] Burton，L.，Cooper，M.，& Leder，G..Representations of three-

dimensional figures by mathematics teachers-in-trainging.In Univ. of London Institute of Education （Eds.），Proceedings of the 10th PME International Conference，1986（1）.

[7] Gutierrez，A.，& Jaime，A.Estudio de las caracteristicas de los nivele de Van Hiele.In J.G.Bergeron，N.Herscovics，& C.Kieran（Eds.），Proceedings of the 11th PME International Conference，1987（3）.

[作者：唐平（1979-），女，重慶永川人，重慶文理學院數學與財經學院講師，碩士；付天貴（1969-），男，重慶酉陽人，重慶文理學院數學與財經學院副教授，西南大學數學與統計學院在讀博士研究生。]

【責任編輯 陳國慶】