尋根源找對策，提高課堂教學質量

鄭欲曉 朱志明

[摘 要]運算定律是小學數學的重要內容。要提高運算定律的教學質量，教師既應尋根源找對策，注重運算定律之間的聯系，引導學生利用多元表征理解運算定律，又要重視歸納應用與說理相結合，使學生更好地理解算法和算理。

[關鍵詞]數學教學 運算定律 多元表征 乘法分配律 算理 算法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-030

運算定律的作用不可小覷，一方面對幫助學生更好地理解算法和算理具有十分重要的作用；另一方面，就數學本身而言，無論是數集的擴充，還是從算術到代數的發展，都離不開對運算定律的歸納和總結。 但在實際教學中，學生學習運算定律的情況并不理想，這是為什么呢？下面，筆者根據學生對一道抽測題的答題情況，談一些粗淺的想法，并與同行研討。

案例回顧：

在我區小學畢業生數學檢測題中，有0.4×（2.5×12.5）這樣一道運用乘法交換律和乘法結合律解答的計算題，命題者本想將其作為送分題，但結果大出意料，全區3200名考生，得分率只有73.1%，這道題竟成為學生主要的失分題。學生的主要錯誤是把原題轉化為（0.4×2.5）×（0.4×12.5）來進行計算，這說明為數不少的學生把乘法的結合律與分配律混淆。同時，這從另外一個角度也說明，乘法運算定律的學習對學生來說不是一件容易的事，必須引起我們教師的高度重視。

原因分析：

為什么學生容易把乘法的結合律與分配律混淆呢？從學生的層面分析，可能是粗心，也可能是他們只知乘法分配律的形式——“括號外面有一個乘數，括號里面有兩個數”，而不知其本質（乘法和加法兩種不同的運算形式）——“括號外面有一個乘數，括號里面有兩個相加的數”；從教師的層面分析，只關注本節課知識的單一傳授，忽視了知識間的內在聯系。如教學乘法分配律時，很少有教師把乘法的分配律與結合律進行對比分析，導致學生不知道它們的區別在哪里，而且教師只關注學生對運算定律字母表達式的簡單記憶，忽視了引導學生對運算定律多元表征的理解，特別是忽視了讓學生用自己容易表達的方式去理解。此外，教師只注重對運算定律的抽象歸納，忽視了學生的說理體驗。

教學建議：

根據上述分析，下面以乘法分配律為例，談談運算定律的教學建議。

1.注重運算定律間的聯系

教師應清楚地認識到，幫助學生真正地認識各個運算定律之間的聯系和區別，有利于學生通過已知的運算定律，掌握新的運算定律，加深對已知運算定律的理解，從而促進學生的知識“連點成線”“織線成網”。如教學乘法分配律時，教師可設計一個讓學生比較乘法的分配律與結合律異同的教學環節：運用乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c）的前提是三個數連乘，結論為可以是前面兩個乘數先乘，也可以是后面兩個乘數先乘，其結果相等；而乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c雖然也有三個數，但它是有乘有加的，其結論是兩個數的和乘第三個數的積等于這兩個數分別乘第三個數積的和，故乘法分配律也可以說成是乘法對加法的分配律。如果學生將這一認知在頭腦中深深地扎根的話，就不至于把乘法的分配律與結合律混淆。這里需要說明的是，比較乘法的分配律與結合律不能局限于語言表征和符號表征，教師還可以運用說理比較的方法進行引導，甚至到了六年級總復習時，可以拓展到圖像表征的比較。

2.注重通過多元表征理解運算定律

美國學者萊許等曾借助圖形（見圖1）來說明數學概念的發展過程：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表達方式，如圖像、書面語言、現實情景等，同樣也發揮了十分重要的作用。”這一論述為我們的概念教學指明了方向：教師在教學中不應強調其中的任一方面，而應更加重視對于各個方面的聯結，幫助學生能夠依據情況與需要，逐步學會在這之間靈活地進行轉換。

如在乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c的教學（包括練習課、復習課）中，教師應有意識地應用多種不同的表征形式，引導學生真正理解所學的運算定律。

（1）情境表征：如“王阿姨的服裝店要進一批運動裝，其中上衣每件55元，褲子每條35元。購買50套運動裝共需要多少元”等問題。

（2）操作表征：讓學生舉例計算（a+b）×c和a×c+b×c的結果，然后引導他們通過比較發現所求的關系。

（3）符號表征：（a+b）×c=a×c+b×c。

（4）圖像表征：利用右圖（見圖2），讓學生建立乘法分配律的圖形原型。

（5）語言表征：用文字語言總結規律，即“兩個數的和乘第三個數的積等于這兩個數分別乘第三個數積的和”；用圖形語言理解規律，即“從左到右分配進去（見圖3），從右到左把相同的c提取出來（見圖4）”。這里，后一種表征為學生中學學習提取公因數打下基礎。

3.注重歸納應用與說理相結合

在數學教學中，對運算定律的探究一般是引導學生采用不完全歸納法，即通過幾個例子的計算，歸納出一般的結論。因此，在大多數教學乘法分配律的課堂上，有一個讓學生舉反例的環節。如在學生半信半疑時，教師會通過提問“你能找到反例嗎”，讓學生找反例。在學生思考、探索后，教師再問學生：“有沒有找到反例？”學生說：“沒有找到！”于是，教師進行小結“沒有找到反例，說明這一猜想是正確的，是一個規律”，然后歸納出結論。事實上，一節課內找不到反例，不能說明就沒有反例。要讓學生信服，最好的辦法是讓學生說理。先說具體的，如（35+55）×50=35×50+55×50，左邊算式的括號里是90，90×50表示有90個50，右邊算式的35×50表示有35個50，55×50表示有55個50，加起來正好是90個50；再說一般的，如（a+b）×c=a×c+b×c，左邊算式（a+b）×c表示有（a+b）個c，右邊算式的a×c表示有a個c，b×c表示有b個c，加起來正好是（a+b）個c。另外，通過這樣的說理，還起到了促進學生對乘法分配律理解的作用。

總之，提高運算定律的教學質量，教師既應尋根源找對策，注重運算定律之間的聯系，引導學生利用多元表征理解運算定律，又要重視歸納應用與說理相結合，使學生更好地理解算法和算理。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 劉福林.論運算律的意義與教學[J]. 小學數學教師，2014（1）.

[2] 鄭毓信.多元表征理論與概念教學[J]，小學數學教育.2011（10）.

（責編 杜 華）