利用導數研究函數的單調性的拓展教學

宋淮南

【摘要】高中數學新課程標準提出：“倡導積極的、主動的探究式學習，培養學生的創新精神和實踐能力.”數學探究是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程.在這個過程中學生始終處于主動探索、主動思考、主動建構的地位.如果教師事先能在進行精心設計，積極在教學中開展拓展性教學，并在學生探究過程中起畫龍點睛的引導，就能使教師指導作用與學生主體作用充分結合.這樣學生不需要大量、重復地做同一樣類型的題目，也能掌握相關的知識與方法，從而實現真正的減負，不僅提高了學習的效率，更有利于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，提高他們發現、提出、解決數學問題的能力以及發展他們的創新意識和實踐能力.

【關鍵詞】導數；函數；數學教學

《導數及其應用》是高中數學的重要內容，利用導數研究函數的單調性是其重要部分，在高考中占有重要的地位，結合我的實踐探索，談談利用導數研究函數的單調性中進行拓展教學的一些體會.

例 求函數f（x）=x3+x2-x的單調區間.

這是一道難度不大的習題，先由學生自行解答，然后給出規范答案.

接下來由學生總結出求函數的單調區間的方法：

先確定函數y=f（x）的定義域及f′（x）；接著有兩種做法.

法一 ①解不等式f′（x）>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

②解不等式f′（x）<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

法二 ①令f′（x）=0，解此方程，求出在定義區間內的一切實根；

②把函數f（x）的間斷點（即f（x）的無定義點）的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f（x）的定義區間分成若干個小區間；

③確定f′（x）在各個區間內的符號，根據符號判定函數在每個相應區間內的單調性.

注意單調區間之間用“，”連接，不能用“∪”連接.

拓展1 求函數f（x）=x3-ax2-a2x的單調區間.

師問：此時系數含有參數怎么辦？

生答：先求函數的導數，再根據導數的根的情況進行分析，分a=0，a<0，a>0三種情況討論.

規律方法 ①要對參數a進行分類討論；②要確定分類的標準，做到不重不漏.

拓展2 已知函數f（x）=x3-ax2-a2x的遞減區間恰為-1，13，求實數a的值.

師問：單調區間恰為-1，13應如何理解？

生1答：函數在區間-1，13沒有遞增或常數函數的情況.

生2答：函數在區間-1，13之外沒有遞減部分.

生3答：可結合拓展1求解或利用-1和13是f′（x）=0的根求解.

通過師生的共同探討，得到兩種解答.

規律方法 關鍵是理解y=f（x）的遞減區間恰好為-1，13的含義.

拓展3 若函數f（x）=x3+ax2-a2在區間13，+∞上是增函數，求實數a的取值范圍.

師問：函數在區間13，+∞上是增函數，是不是單調遞增區間就是13，+∞呢？

生答：不一定，在區間13，+∞外還有可能存在遞增的情況.

師問：怎樣求實數a的取值范圍？

生答：因為函數在區間13，+∞上是增函數，所以y=f′（x）在13，+∞都是大于或等于零，只要不出現有恒為零即可.

師問：為什么？

生答：如f（x）=x3，f′（x）=3x2≥0當且僅當x=0時取“=”，而f（x）=x3在R上是增函數.

通過本例的研究得到已知函數單調性，求參數范圍的兩個方法：

（1）利用集合間的包含關系處理：y=f（x）在 （a，b）上單調，則區間（a，b）是相應單調區間的子集.

（2）轉化為不等式的恒成立問題：即“若函數單調遞增，則f′（x）≥0；若函數單調遞減，則f′（x）≤0”來求解，注意式子中的等號不能省略，否則漏解.注意可導函數f（x）在（a，b）上是增（減）函數的充要條件是：對x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子區間內都不恒為零.

拓展4 已知函數f（x）=x3-ax2+2x在13，2上存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍.

師問：如何理解函數在區間13，2上存在單調遞減區間？

生答：函數在區間13，2有遞減的情況，也就是存在x0∈13，2使得f′（x）<0.

著名的教育家波利亞曾說：“好問題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長，找到一個以后，應該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個.”由此在數學教學中，引導學生從一個問題出發，通過逆向思維求其逆命題；通過設常量為變量拓展問題；通過引入參量推廣問題；通過弱化或強化條件與結論，進行橫向的拓寬和縱向的深入等方法去探索問題的變化，則能使學生發現問題的本質，去揭示其中的數學思想.這樣，我們通過“問題”情境的創設，營造良好的課堂心理氛圍，誘發學生的學習欲望使其更好發揮探究的主動性，從而體驗數學知識的拓展變化，這樣既有利于學生學習知識，又有利于培養學生發散思維、建構知識的能力和創新能力.