二階線性遞推數列的一個非常好的性質

鄭宏寶

當數列{an}的遞推式滿足an+2+pan+1+qan=0（p，q∈R，n≥1）時，稱數列{an}是一個二階線性遞推數列.這個數列是我們非常熟悉的，可以應用特征方程法求其通項.然而有些時候通項并不是我們所關心的，我們更關心的是這個數列所具有的一些性質，況且往往這種數列通項的形式非常繁瑣.這里介紹一個二階線性遞推數列的非常好的性質：

若數列{an}滿足二階線性遞推式，即an+2+pan+1+qan=0（p，q∈R，n≥1），則數列{a2n+1+pan+1an+qa2n}構成等比數列，且公比為q.

證明：首先構造參數λ1，λ2，使得an+2-λ1an+1=λ2（an+1-λ1an）.

與原遞推式相比較，發現λ1+λ2=-p，λ1λ2=q，這也就是說λ1，λ2為方程

x2+px+q=0的兩根，這就是我們所熟知的特征方程.于是{an+2-λ1an+1}構成公比為λ2等比數列，進而可以求出{an}的通項公式.

我們發現，參數λ1與λ2的地位是等價的，也就是說求出來λ1和λ2之后，原遞推式變為an+2-λ1an+1=λ2（an+1-λ1an）①或者an+2-λ2an+1=λ1（an+1-λ2an）②

將①式與②式相乘，得：a2n+2+pan+2an+1+qa2n+1=q（a2n+1+pan+1an+qa2n）.

注：特別的，當q=1時，數列{a2n+1+pan+1an+qa2n}為常數列.

例1 數列{an}滿足a0=1，an+1=7an+45a2n-362，n∈N，證明：

（1）對于任意的n∈N，an為整數；

（2）對于任意的n∈N，anan+1-1為完全平方數.

證明 （1）根據題目條件an+1=7an+45a2n-362，即2an+1-7an2=45a2n-36，

a2n+1-7anan+1+a2n=-9①，取n=n+1，再寫一項，即a2n+2-7an+2an+1+a2n+1=-9.

發現an+2和an為方程x2-7an+1x+a2n+1=-9的兩個根，根據韋達定理，有

an+2+an=7an+1，即an+2=7an+1-an.因為a0=1，a1=5，所以第一問歸納即證.

（2）第二問我們應用一下上述結論，因為an+2-7an+1+an=0，q=1，即

a2n+1-7an+1an+a2n=a21-7a1a0+a20=-9②，兩邊同時加上9an+1an，得：anan+1-1=an+1+an32.因為左邊是整數，an+1+an3是有理數，所以an+1+an3一定也是整數，得證.

在證明的過程中我們發現，②式與①式完全相同，也就是說②式實際上并不需要我們之前所講的結論也可直接得到.似乎并沒有看到這條結論有什么特別好的地方，那么下面這道題就可以顯示其作用.

例2 數列{an}滿足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-an，n≥1.求證：對任意正整數n，anan+1-5是完全平方數.

證明 直接應用上述結論，因為an+2-3an+1+an=0，其中q=1，所以

a2n+1-3an+1an+a2n=a22-3a2a1+a21=-5.兩邊同時加上an+1an，即得

anan+1-5=（an+1-an）2.又歸納易證an為整數，所以anan+1-5是完全平方數，得證.

下面這道題留給讀者作為練習.

練習1 數列{an}滿足a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an，n≥1.求所有的正整數n，使得1+5anan+1是完全平方數.

看了上述的例子之后我們還是感覺此定理的應用很有局限性，即題目必須將數字配湊得非常好，才能直接應用解題，而大部分題目用該結論并不能得到.但是，如果將此定理和數學歸納法結合在一起，將會成為一個非常強大的工具.

例3 數列{an}滿足a1=a2=1，an+2=7an+1-an，n≥1.求證：對任意的正整數n，an+an+1+2是完全平方數.

證明 先寫出前幾項找找規律：a1=a2=1，a3=6，a4=41，a5=281，a6=1926.a1+a2+2=4=22，a2+a3+2=9=32，a3+a4+2=49=72，a4+a5+2=324=182，a5+a6+2=2209=472.

觀察數列2，3，7，18，47，…從而猜想an+an+1+2=b2n，其中b1=2，b2=3，bn+1=3bn-bn-1（n≥2）.下面用歸納法來證明.

當n=1，2時，命題成立.假設當n≤k時命題成立，考慮n=k+1時的情況，我們要證明：an+2+an+1+2=b2n+1.由熟知的結論，b2n-3bnbn-1+b2n-1=b22-3b2b1+b21=-5，從而3bnbn-1=b2n+b2n-1+5，于是，

b2n+1=（3bn-bn-1）2=9b2n-6bnbb-1+b2n-1=9b2n-2（b2n+b2n-1+5）+b2n-1=7b2n-b2n-1-10

由歸納假設，b2n+1=7（an+an+1+2）-（an-1+an+2）-10=7an+1+6an-an-1+2=an+1+an+2+2

因此當n=k+1時命題成立.

故對任意的正整數n，an+an+1+2=b2n是完全平方數.

從此題可以看出，一般的數列問題如果比較麻煩，可以先寫出幾項猜猜結論，然后歸納完成證明.本題構造了輔助數列{bn}，發現{bn}是二階線性遞推數列，在歸納證明時用到了我們之前所說的結論.