例談解析法在中學數學矩形問題中的應用

丁嘉程 池澄

【摘要】本文以具體的實例為載體，討論了運用解析法建立直角坐標系，以直線的相關理論來解決中學數學中的矩形問題，從而突破了這類問題的初中傳統解法，彰顯了解析法的優勢和魅力.

【關鍵詞】矩形問題； 直角坐標系； 解析法

在中學數學里，常常會遇到這類問題：對一個矩形進行折疊、分割等變換，要求解得各種變換后矩形某部分的面積、某線段的長度等.這種類型的題目條件多較為復雜，若用傳統的幾何思想來解決，往往需要添加一條甚至多條輔助線，解題有一定的技巧性和難度，沒有統一的思想和方法，學生也很難徹底掌握.本文將針對這類題目，建立適當的直角坐標系，以直線的相關理論作為工具，使得這類題目迎刃而解，此法稱之為解析法.解析法的優點在于有統一的思想方法，把圖形問題轉化為代數方程問題，比較容易被掌握.本文主要通過具體的例子闡述如何運用解析法來解決矩形問題.

例4 如圖，在邊長為9 cm的正方形ABCD中，點E，M分別是線段AB，CD上的動點，連接DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于點N，設點M從點C出發，以1 cm/s的速度沿CD向點D運動；點E同時從點A出發，以2 cm/s的速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t>0）.當點F在AB邊上時，連接FN，FM：（1）是否存在t使FN=MN？若存在，請求出此時t值；若不存在，請說明理由；（2）是否存在t使FN=FM？若存在，請求出此時t值；若不存在，請說明理由.

解 （1）建立直角坐標系，易得D（9，9），E（t，9-t），

M（9，t）.則kDF=t9-t，所以有lDF：y=t9-t（x-9）+9.

令x=0則y=-9t9-t+9，即F0，-9t9-t+9.

∵MN⊥DF，∴kMN=t-9t.

則有lMN：y=t-9t（x-9）+t.解得N（9-t，9）.

所以有|FN|=（-9t9-t）2+（9-t）2，|MN|=t2+（9-t）2.由FN=MN得t=0，所以不存在.（2） FM=-9t9-t+9-t2+92，令FN=FM，得t=92.

例5 如圖，在矩形ABCD中AB=4 cm，CD=8 cm，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，連接EF，FG，GH，HE.求證：四邊形EFGH是菱形.

證明 由題意得，A（0，8），B（4，8），C（4，0），D（0，0），E（2，8），F（4，4），G（2，0），H（0，4）.則可知kHE=2，kFG=2，kEF=-2，kHG=-2.所以EF‖GH，FG‖HE.所以四邊形EFGH是平行四邊形.而EF=FG=EH=HG=22+42=25，所以四邊形EFGH

是菱形.

從上面的例子可以看出解析法解這類問題的優勢.應用解析法時，首先要選定合適的直角坐標系，標出相關點的坐標，將幾何問題轉化為代數方程問題，利用直線等相關理論，從而解決問題.

【參考文獻】

[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.5.

[2]呂林根，許子道.解析幾何學習輔導書（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.8.