“和尚與饅頭”問題的解法探討

孫迪淼

【摘要】 大約1500年前，中國古代數學名著《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”問題是一個有趣而引人思考的問題. 對于這個問題的解決也有一般的方法，但對于該問題的姊妹變形，也會出現若干較為巧妙的解法，希望能與同仁一同探討.

【關鍵詞】 “雞兔同籠”問題；數學教學；發散思維

人教版義務教育教材《數學》五年級上冊“數學廣角——雞兔同籠問題”中，出現了“和尚與饅頭”問題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭. 小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？下面將探討在教學實踐中產生的幾種解法.

根據常規思路，既然可以全看成大僧來解決，那也可以全看成小僧來解決，由此不難得到解法二.

解法二思路與解法一思路基本一致，這兩種解法是完全按照“雞兔同籠”問題解法的一般套路思考的. 但遺憾的是作為小學五年級上冊的一個問題，在此之前學生并沒有學過分數的基本運算，因此以上兩種解法顯然還沒有達到要求. 此時，考慮另起爐灶，還是繼續深究？但上面的解法思路清晰，過程又合乎情理，就此放棄難免不太甘心. 靜心一想，主要矛盾出在分數上面，此時若能將分數問題轉化成整數問題來考慮，解題過程便非常明了. 而那一刻，解法三已經心中有數.

解法三：100 × 9 = 900（個），900 - 300 = 600（個），小和尚：600 ÷ （9 - 1） = 75（人），大和尚：100 - 75 = 25（人）.

解題思路：分數問題要轉化成整數問題，其實只要突破“小僧三人分一個”即可. 由此，筆者對原題進行了巧妙的改編：“三百饅頭一百僧，大僧九個更無爭. 小僧一人分一個，大小和尚得幾丁？”談及這一改編的靈感，還是從等式的基本性質中獲取的. 而這樣一來，這個問題的處理就與解法一大同小異，但又避開了分數問題. 于是，解法四其實也已了然于胸.

解法四：100 × 1 = 100（個），300 - 100 = 200（個），大和尚：200 ÷ （9 - 1） = 25（人），小和尚：100 - 25 = 75（人）.

想到解法三與四，筆者非常開心，以為這樣的解法已經達到了一定的高峰，以為這樣的解法五年級的學生會容易接受. 但在實際授課中，班級中仍只有少數學生可以理解，看來是高估他們了！課后想想也的確有些為難他們了，對題目進行改編來解題，對五年級學生來說是從來都未曾觸及的領域！正在為這個問題發愁的時候，一個文靜的男孩帶著疑惑的眼神向我遞了一張紙，上面寫著他的解題過程，我一看答案就欣喜了，答案完全吻合！更令人驚訝的是整個解題過程只有兩個步驟！但他的數學成績在班級中也的確只是一般水平！我點了點頭，想聽他講講思路，他只是搖搖頭，表示連他自己也不知道是怎么做出來的，他也僅僅是想來我處探個究竟. 于是，我看著他的解法，滿足地豎起了大拇指.

解法五：大和尚：100 ÷ （3 + 1） = 25（人），小和尚100 - 25 = 75（人）.

解題思路：大和尚每人吃三個饅頭，小和尚每三人吃一個饅頭，若把一個大和尚與三個小和尚分成一組，這樣每組吃（3 + 1）個饅頭，共可分成25組，利用捆綁（組合）的方法，得到大小和尚人數.

后來，筆者將這種方法在班級中講授，大部分學生都能理解了，看來一種好的解題方法往往能達到師生共鳴.

除了以上五種解法外，考慮到本冊書中已經涉及方程，不妨也給學生介紹用方程思想來解決本題，雖然其設未知數的過程以及求解方程的過程難度非常之大，但總體上說，給他們介紹這種方法還是可行的，這樣也讓他們能夠選擇更為合適的方法去解題.

解法六：第一步，設小和尚有3x人，則大和尚有（100 - 3x）人. 第二步，根據題意列出方程：x + （100 - 3x） × 3 = 100. 第三步，解得x = 25.

解題思路：用方程來解決，設未知數的過程很重要，此處設小和尚人數為3x，目的還是為了避開分數，而這一步對于五年級學生而言難度依舊很大，而對于這個方程的求解過程也并不簡單，若是對于初中學生那還可以采取二元一次方程組來解決.

追溯該問題，考慮到其數據較小，解法七“試錯法”也是一種較好的方法，通過“試錯”，可以輕易求得大小和尚人數.

教學中，筆者經常遇到不少學生過來刁難，但極少次他們可以得意離開，沒想到偶爾給他們嘗點甜頭竟愈加激起他們提問的熱潮，這種場面為師者想必都深有體會. 一直以來，筆者認為數學乃至理科的解題教學都應該遵循以下三個方面：多聽聽學生的方法，多完善學生的方法，多提升學生的方法. 如果因為繁雜的教學瑣事而丟棄了這些根本的東西，實在是不大值得.

最后，我想假如我們能夠始終站在學生的角度去思考、解決問題，學生便能更加深入地理解并接受教師對題目的剖析. 雖然，這對教師自我來說是一個挑戰，但這卻是一件受益匪淺的事情，其影響將在教學實踐中長期存在.

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準修訂組.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.

[2]盧江，楊剛.義務教育教科書數學（五年級下）.人民教育出版社，2013.