優化定理教學 發展學生思維

王春華

摘 ? 要：在定理教學中，創設適當情境，讓學生發現問題，提出問題進行研究，歷經猜想、探究、失敗、反思、再探究、發現，類似于科學家進行科學研究的過程，可極大地調動學生學習的主動性和創造性，從而達到發展學生思維能力的目的.

關鍵詞：定理教學;思辨能力;推理能力;創新意識

數學定理不僅表達了重要的數學事實，是定義的延伸，而且集中地反映了數學思想、數學方法，反映了前人探究和創新的成果，是提高學生綜合素質的好素材.在定理教學中，創設適當情境，讓學生發現問題，提出問題進行研究，歷經猜想、探究、失敗、反思、再探究、發現，類似于科學家進行科學研究的過程，可極大地調動學生的主動性和創造性，從而達到發展學生思維能力的目的.

結合自己多年的教學實踐，本文就“初中數學課堂中，如何優化定理教學，發展學生的思維能力”，談一談自己的幾點體會，與同行們商榷.

1 ? 立足定理討論，發展學生的思辨能力和求真精神

思辨能力就是思考辨析能力，是一種抽象思維能力.求真即追求真理，是指在科學理論與方法的指導下不斷地認識事物的本質，把握事物的規律. [1 ]

很多數學定理都帶有高度的抽象性和概括性，不容易理解，給學生造成很大的困惑，致使課堂氣氛顯得沉悶，學習積極性不高，容易形成教師的一言堂.而這種課堂教學往往過多地發揮教師的主導作用，限制了學生思辨能力的發展.久而久之，學生對數學定理的學習不再有好奇心，也就無從談及培養學生的思辨能力了.因此教師應以發展學生思辨能力和求真精神為目的，留給學生自己的空間，尊重學生的愛好、個性和人格，以平等、寬容、友善的態度對待學生，形成一種民主和諧的教學環境.在民主和諧的環境中，課堂討論能吸引學生積極主動參與，做學習的主人.

案例1 ? 在教學“三角形內角和定理”時，教師布置學生準備兩個不同形狀的紙質三角形.師：這兩個三角形的內角和各是多少，是否相等？生：有的搖頭表示不知道，有的說都是180°.師：看來，大家的想法不一樣.同學們是怎么發現它等于180°呢？請同學們小組交流、討論.（學生討論，師巡回指導）師：老師看各小組都有答案，哪個小組來說說你們的奇思妙想.生甲：我們用量角器分別量出三個角的度數，相加是179°.生乙：我們用量角器分別量出三個角的度數，相加是181°.生丙：我們也是用量角器分別量出三個角的度數，相加是180°.師：為什么會出現這種情況？生丁：量得不準.生戊：有的量角器有誤差.師：對，這就是測量的誤差，但是這些結果都比較接近于多少？生：180°.師：那到底三角形的內角和是不是180°呢？還有其它的方法進行驗證嗎？生甲：我們撕下三個角，把三個角拼在一起，剛好湊成一個平角，所以是180°.生乙：我們把三角形的三個內角分別往內折，也剛好湊成一個平角.師：同學們，我們剛才用不同的方法，得到了一個相同的發現，這個發現就是？生：三角形的內角和是180°.師：必須通過嚴格證明確定“三角形的三個內角之和是180°.”

在對定理的討論中，師與生、生與生、組與組不斷互動，學生更積極、更主動，形成一種樂于探究、不懼困難、努力求知的學習氛圍，既鍛煉了學生的思辨能力，又孕育了數學的求真精神.

2 ? 立足定理探索，發展學生的演繹推理能力

演繹推理是由已知概念、定理推出新的定理的思維方式，是進行數學證明的有力工具，對數學的形成和發展有重要的作用，因此演繹推理能力是數學能力的一個重要方面.目前定理教學“輕過程、重結論”現象比較普遍，學生只是被動地接受知識，這種急于求成的教學，顯然不利于學生演繹推理能力的培養.因此，我們在定理教學中，應重視定理產生、形成的過程，引導學生去探索、去發現，發展學生的演繹推理能力.

案例2 ? 在 教學“等腰三角形的性質定理”時，提出這樣的問題：將一把三角尺和重錘如圖1放置，就能檢查一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？學生有可能會回答“等腰三角形三線合一”，因為不能排除有部分學生已經預習，那就可以追問“等腰三角形三線為什么會合一？”使他們帶著問題，帶著渴望參與教學活動.教師再因勢利導，與學生一起探索等腰三角形的性質定理.1.創設情境：①讓學生制作一個等腰三角形紙片，對折、打開、分析;②給出一個直角三角形，讓學生畫出它以某一直角邊為對稱軸的對稱圖形. 2.引導學生探索：通過上面的操作實驗，觀察、分析、猜想，并與他人交換意見，互相討論. 3.得出結論：①等腰三角形的兩個底角相等;②等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合. 4.指導學生論證：①要證兩個角相等，一般的思路是什么？學生不難發現用“證明所在兩個三角形全等”，進而發現必須添加輔助線，構造三角形;②讓學生闡述不同的證明思路，再分別用不同的方法證明;③等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合，這一命題包含3種情況，讓學生一一推理論證.

對于學生來說，經歷這樣的探索過程，生動有趣，大大地激發了學生的求知欲和進取心，并運用學過的知識進行嚴謹的推理論證，發展學生的演繹推理能力.

3 ? 立足定理研究，發展學生的合情推理能力和創新意識

3.1 ? 直觀感知，操作確認，發展學生的合情推理能力

合情推理的實質是“發現—猜想”.牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發明.” [2 ]在定理教學中，鼓勵學生猜想，引導學生猜想，尊重學生的猜想，讓學生真正體驗猜想的樂趣，享受探究的過程，進而有序地培養數學合情推理能力.

案例3：在教學“勾股定理”時，課前讓每個學生準備一個以3厘米長和4厘米長為直角邊的直角三角形紙片、一個以5厘米長和12厘米長為直角邊的直角三角形紙片和四個全等的直角三角形紙片.先讓學生量一量兩個不同的直角三角形的三邊的長度，并將各邊的長度填入表1：

提問：根據上面表格中的數據，對于直角三角形三邊的關系你有什么發現？

學生猜想：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.此時，老師還不急于肯定，繼續讓學生探索：如圖2，正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中的三個正方形有什么關系？讓學生觀察思考，不難發現：兩個小正方形P、Q的面積之和等于大正方形R的面積，即SP+SQ=SR .

這說明Rt△ACB的三邊有什么關系？

學生觀察猜想：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

學生通過自己動手測量、計算和觀察，從數和形兩個方面得到了一個直觀印象：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.這就是數學猜想！接著教師指出：猜想得出的結論，必須經過推理論證.然后因勢利導，讓學生拿出課前準備的4個全等的直角三角形，通過拼圖，完成證明.

在定理教學中，教師不僅要充分利用教材，深入挖掘，而且還要引導學生觀察、分析、探索、猜想，進而養成勇于探索、善于猜想的品質.同時教師要多鼓勵少批評，鼓勵學生大膽提出見解和作出猜想，激發學生的熱情，培養學生的合情推理能力.

3.2 ? 多方聯想，一題多證，培養學生的發散性思維能力

發散性思維，是創造性思維的核心，對培養學生的創造力有著直接的作用.因此我們必須重視培養學生的發散性思維，在定理教學中引導學生從多角度、多方面去認識問題、分析問題、解決問題，以培養學生的發散性思維能力.

案例4：在教學“勾股定理”時，要求每個學習小組（4-6人）課前準備4個全等的直角三角形（兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c）.通過動手操作、小組合作、共同探索勾股定理的證明方法.學生動手拼圖、思考，教師適時引導、點撥，讓學生逐漸明白數學圖形的割補方法和代數恒等關系在幾何中的運用，并得出多種的證明方法.下面列舉其中三種證明方法：

方法1 ? 學生用四個全等的直角三角形拼成如圖3所示的正方形，利用面積相等進行證明.S大正方形=S小正方形+4S直角三角形 .

即（a+b）2=c2+4×ab，

a2+2ab+b2=c2+2ab，

故a2+b2=c2.

方法2 ? 學生用四個全等的直角三角形拼成如圖4所示的正方形，利用面積相等進行證明.

S小正方形+4S直角三角形

=S大正方形，

即（b-a）2+4×ab=c2，

b2-2ab+a2+2ab=c2，

故a2+b2=c2.

方法3 ? 只用兩個直角三角形拼成的圖形如圖5，不過證時要添加一條輔助線BC.由題意易得：

Rt△BAE≌Rt△EDC.

∴S梯形ABCD=（a+b）2=（a2+2ab+b2）.

∴ S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△CDE

=ab+c2+ab=（c2+2ab）.

∴a2+2ab+b2=c2+2ab.

故a2+b2=c2.

此外，教師告訴學生，勾股定理的證明方法還有很多，鼓勵學生利用課余時間查閱相關資料，積極探索.

在勾股定理教學中，重視一題多證的教法，使學生在思考問題上具有靈活性、多變性，并且引導學生評價各種不同解法的特點及其優劣，這樣不但能提高學生的學習興趣，而且對于優化解題思路、增強發散思維能力有著十分積極的作用.

3.3 ? 正難則反，正反互化，發展學生的逆向思維能力

所謂逆向思維，是指和正向思維方向相反而又相互聯系的思維過程.逆向思維是思維靈活性的一種表現，是一種重要的創造性思維，在數學定理教學中，加強對學生逆向思維的培養，不僅可以讓學生發現問題的解題方向，找到解題捷徑，還有助于加深對定理的理解，掌握定理，使思維的靈活性和創造性得到有益的發展.

案例5 ? 在教學“平行線的判定定理”時，教師先讓學生回憶“平行線的性質”，后提出問題，反過來，得到什么？學生很容易得出對應的三個命題，經推理論證后得到平行線的判定定理.為了訓練學生的思維，隨即考學生一道題，如圖6，∠1+∠2=180°，∠3=110°求∠4的度數.學生作答后，再引導學生分析，在圖中∠1和∠2的對頂角是一對同旁內角，且和為180°，從而得出a∥b;再由兩直線平行，同旁內角互補，得到∠3的對頂角與∠4互補，從而得出∠4=70°.

當然，逆向思維能力的培養不是一朝一夕的事，需要我們教師在平時的教學中多注意積累，有意識地利用各種教學的手段和方法對學生進行逆向思維的訓練.

3.4 ? 觀察比較，類比聯想，發展學生的求同思維能力

類比思維是從兩個對象之間在某些方面的相似關系中受到啟發，從而使問題得到解決的一種創造性思維. [3 ]由于類比思維具有從一個特殊領域的知識過渡到另一個特殊領域的知識的優越性，所以將類比用于定理的教學，不但可以加深學生對定理的理解和記憶，也可以使學生對所學知識有個系統化的了解，發展學生的求同思維能力.

案例6 ? 在 教學“角平分線的性質和判定定理”時，由于它與“線段垂直平分線的性質和判定定理”有很多類似的地方，因此引導學生使用類比法.具體如下：①由“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等” 類比得到“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等”;②由“與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”類比得到“角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”.

通過類比，以舊引新，使學生對新的定理的理解更深入、記憶更牢固，運用更靈活.在學生觀察比較過程中，教師啟發、引導、點撥，使學生變學為思，促進學生的求同思維能力的發展.

4 ? 結束語

數學定理教學的根本任務不僅在于向學生傳授知識，更重要的是開發學生的思維.學生思維能力的培養是多方位的，在定理教學的每個環節中，需要教師積極創設途徑，通過引導和啟迪，使學生參與到分析知識的形成過程中去，從而使學生的思維能力得到有效的開發和培養.只有師生共同配合，才能教學相長，才能使學生的思維在數學課堂教學中得到發展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[S].北京師范大學出版社，2012.

[2]周述乾.在低年級數學教學中學生創新意識的培養[J].讀與算（教研版），2014（1）.

[3]劉仁蘭.類比思維在化學教學中的運用[J]. 中學時代：理論版，2013（9）.