在變式中感悟，在感悟中提升

王麗萍

摘 要： 新課程的核心理念是“為了每一個學生的發展”。教師在課堂教學中，不僅要教會學生如何解題，而且要教會學生解決問題的方法.因此教師要精心設計課堂教學，讓學生在變式中感悟，在感悟中提升，從而使得每一位學生都有所發展.

關鍵詞： 變式 感悟 有效課堂

新課程的核心理念是“為了每一個學生的發展”.構建和諧課堂，最終目的就是要讓每一位學生都得到健康、和諧、全面的發展.前蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基曾說：“成功的歡樂是一種巨大的情緒力量，它可以促進兒童好好學習的愿望.請你注意：無論如何不要使這種內在力量消失.缺少這種力量，教育上的任何巧妙措施都是無濟于事的.”因此，在課堂教學中，我們不僅要教會學生如何解題，還要教會學生解決問題的方法.那么我們的課堂就要精心設計，不在于講得多，而在于學生在這堂課上是否有所得.下面我就結合某節課的教學設計談談如何讓學生在變式中感悟，在感悟中提升，從而使得每一位學生都有所發展.

前面一節課已經學習了直線與圓的位置關系，這節課重點研究圓上的點到直線的距離為定值的點的個數問題.

課前思考（2010年江蘇高考第9題）：在平面直角坐標系xOy中，已知圓x■+y■=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

這道題對于基礎薄弱的學生來說是一道有難度的題.如何化難為易，化繁為簡，真正體現數學的生成思維，讓每一位學生都有所發展，因此我先拋磚引玉，并不急于解決上述問題，而是精心設計了以下教學過程.

例題1：求直線3x+4y-5=0被圓C：x■+y■=4所截得的弦長.

解：由已知可得圓心到直線3x+4y-5=0的距離d=■=1，而圓的半徑r=2，所以直線3x+4y-5=0被圓C∶x■+y■=4所截得的弦長為2■=2■.

例題2：求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的坐標.

解：設圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的坐標P（x■，y■）.

則x■■+y■■=4d=■=1，解得

x■=■，y■=■，或x■=■，y■=-■，或x■=-■，y■=■.

變式（1）求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的個數.

解：方法一（代數法）通過例2的計算可知圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的個數為3個.

方法二（幾何法）但我們也可以不通過計算，而是通過數形結合的方法判斷.從例1可知圓心到直線3x+4y-5=0的距離d=1，而圓的半徑r=2，我們只要把直線3x+4y-5=0分別向兩側平移一個單位（虛線部分），從而觀察平移后的直線（虛線）與圓的公共點的個數即為圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為1的點的個數：3個（兩個交點，一個切點）.

變式（2）求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點的個數.

解：由圖可知，平移后的直線與圓有四個公共點，

所以圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點的個數有4個.

變式（3）求圓C：x■+y■=4上的點到直線3x+4y-5=0的距離為2的點的個數.

老師提問：你認為解決這類問題一般采用什么方法？

學生回答：首先把圓與直線的圖形先畫好，然后平移直線到滿足條件的位置，觀察平移后的直線與圓的公共點個數即為所求.老師提問：剛才是圓定，直線定.如果圓動，直線定呢？你能自己變題嗎？

學生回答：若圓C：x■+y■=r■（r>0）上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點有4個，求r的取值范圍.

解：已知直線3x+4y-5=0為定直線，圓C：x■+y■=r■（r>0）為動圓.作出到直線3x+4y-5=0的距離為■的兩條虛線，使得動圓與虛線的公共點有4個，則圓的半徑r的取值范圍為r>■.

老師提問：請同學們思考：若有3個？2個？1個？r的取值范圍如何？你能得到什么結論？

學生回答：方法類似上述例題，若圓C：x■+y■=r■（r>0）上的點到直線3x+4y-5=0的距離為■的點有分別有3個？2個？1個？相應的半徑r的取值范圍是r=■，■

老師提問：除了圓動，直線是否可改為動直線？

學生想到直線可以動起來，把直線設為ax+by+c=0.進行調整，這種直線動感太強，無法控制，能否特殊化呢？學生想到把直線設為3x+4y+c=0，這是一組與直線3x+4y-5=0平行或重合的直線.也有學生想到把直線設為ax+by=0，這是一組過定點（0，0）的直線.

因此學生立即想到課前思考的高考題：在平面直角坐標系xOy中，已知圓x■+y■=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

其實這類題與上述例題有著異曲同工之處，看似題目不一樣，其實解決的方法是一樣的.利用數形結合的方法，我們同樣可以利用圖形來判斷.最終轉化為圓心到直線12x-5y+c=0的距離0

變式（4）：若圓x■+y■-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2■，則直線l的傾斜角的取值范圍是？搖 ？搖？搖？搖.

解：方法一：∵圓x■+y■-4x-4y-10=0整理為（x-2）■+（y-2）■=（3■）■，

∴圓心坐標為（2，2），半徑為3■，直線l：ax+by=0恒過原點，

要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2■，

則圓心到直線的距離應小于等于■，∴■≤■，∴（■）■+4（■）+1≤0，

∴-2-■≤■≤-2+■，k=-■，

∴2-■≤k≤2+■，

所以直線l的傾斜角的取值范圍是[■，■].

方法二：∵圓x■+y■-4x-4y-10=0整理為（x-2）■+（y-2）■=（3■）■，

∴圓心坐標為（2，2），半徑為3■，

要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2■，

則圓心到直線的距離應小于等于■，過原點分別作兩條直線l■和l■，使其圓心A分別到兩條直線的距離為■.過點A分別作直線l■和直線l■，垂足分別為點M和點N.

∵直線OA的傾斜角為45°，且∠AOM=∠AON=30°，∴直線l■和直線l■的傾斜角分別為■，■.所以直線l的傾斜角的取值范圍是[■，■].

上述幾個問題的設計由淺入深，層層遞進.例1和例2使得每一位學生都能做一做，想一想，練一練，而幾個變式相對于兩個例題的難度要大些，對于有能力的學生來說可以提高其思維能力.對于基礎薄弱的學生，在前面問題的鋪墊的情況下也可以慢慢有所想法，漸漸突破難關.這樣每一位學生在課堂上都能有所收獲.若是一味地直接做難題，則基礎薄弱的學生聽不懂；若題目太簡單，沒有一定的梯度，則基礎好的學生不想聽.因此問題情境有一定的生成性，更能吸引學生的注意力，更能激發學生的探究精神和創造能力及學習的興趣.

素質教育的顯著特點之一就是要面向全體學生，提高全體學生的素質和能力，努力挖掘每一個學生的潛能，發揮每一個學生的個性特長，使學生的個性特征得到充分、全面的發展.讓每一個學生獲得成功的體驗，是構建有效課堂的最終目標.獲得成功是每一個學生的權利，幫助學生獲得成功又是每一位教師義不容辭的義務和責任.題海戰術可能短時間對學生的解題稍有益處，對于學生的終身發展卻不是什么好的方法.在課堂上我們要學會精講精練，在變式中讓學生慢慢體會數學的樂趣和數學的價值，在感悟中提高自身的解題能力，培養良好的數學素養，讓數學課堂變得妙趣橫生，引人入勝.

參考文獻：

[1]劉訓昌.河南教育：一切為了學生的發展，2003.08.

[2]岑申，王而冶編.21世紀高中數學精編.杭州：浙江教育出版社，2000.

[3]魏丹.高中數學教與學：注重解題反思，提高思維能力，2012.04.