初中數學課堂教學中應當滲透一點合情推理

丁祖元

【摘 要】合情推理就是一種合乎情理的推理，是指根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程。長期以來，中學數學教學一直強調教學的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性，特別注重發展學生的演繹推理能力，忽視了學生合情推理能力的培養，這樣一來，勢必使學生的推理意識與能力形成缺陷，使學生的創造性思維受到抑制。從這個角度與意義上講，在初中數學課堂教學中，除了努力培養學生的演繹推理能力外，還應適當滲透一點合情推理。

【關鍵詞】數學教學 合情推理 推理能力

美國著名數學家波利亞說：“數學可以看作是一門證明的科學，但這只是一個方面，完成了數學理論，用最終形式表示出來，像是僅僅由證明構成的純粹證明性。嚴格的數學推理以演繹推理為基礎，而數學結論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發現的。”長期以來，中學數學教學一直強調教學的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性，特別注重發展學生的演繹推理能力，忽視了學生合情推理能力的培養，這樣一來，勢必使學生的推理意識與能力形成缺陷，使學生的創造性思維受到抑制。從這個角度與意義上講，在初中數學課堂教學中，除了努力培養學生的演繹推理能力外，還應適當滲透一點合情推理。

合情推理就是一種合乎情理的推理，是指根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程。主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯想、頓悟、靈感等思維形式。波利亞等數學教育家認為，演繹推理是確定的、可靠的；合情推理則帶有一定的風險性，而在數學中合情推理的應用與演繹推理一樣廣泛。《數學課程標準》要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例”，也就是要求學生在獲得數學結論時要經歷合情推理到演繹推理的過程。

合情推理是一種創造性的思維活動，合情推理能力是數學能力的重要內容。在平時的數學課堂教學中，合理使用合情推理與演繹推理，會給我們的教學增光添彩。

一、恰當地應用合情推理，充分發揮其較強的類比聯想的能力

數學上的類比是指依據兩類數學問題的相似性，有可能將已知的一類數學問題的性質（解法）遷移到另一類未知的問題上去的一種合情推理。其表現為善于根據問題的特征（結構、屬性等），聯想某一熟悉的問題，依據它們在某些方面相似或相同之處，去歸納、概括所給問題的概念、性質或推斷解題方法或思路。

例：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求如圖放置的兩個正方形的邊長。

解析：目標問題對學生來說顯得比較復雜，通過回憶，尋找原問題，聯想到課本例題：在一個直角三角形中求一個正方形的邊長。通過作斜邊上的高，再利用相似三角形的相關知識，就可以得到正方形的邊長。

利用類比的思維方法，同樣作CD⊥AB，容易求得CD= 。設一個正方形的邊長為x，利用△CEF∽△CAB得到： = ，解得x= ，即正方形的邊長為 。

進一步思考，我們可以擴展到求如圖2放置的n個正方形的邊長。利用△CEF∽△CAB得到：

= ，解得x= ，即正方形的邊長為 。

還可以進一步讓學生思考：如果將正方形換成半圓，解題方法會變嗎？結論又會怎樣呢？

二、恰當地應用合情推理，合理使用其較強的揭示規律的能力

歸納推理是思維過程中從特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。其表現為善于根據所給問題的形式、結構，通過觀察、試驗、分析和歸納，猜想一般的結論，或善于將所給問題與簡單的、熟悉的情況作對比分析，從中尋找規律、歸納結論。

例：如圖3，將邊長為1的等邊三角形△OAP沿x軸正方向連續平移2013次，點P依次落在點P1、P2、P3、…、P2013的位置，則點P2013的坐標為（ ， ）。

容易發現P1、P2、P3、…、P2013的縱坐標為 ，如果要直接寫P2013的橫坐標，學生還是有一定困難的。因此，我們可以首先寫出前幾個點P1、P2、P3的橫坐標，然后觀察點的下標與橫坐標的關系，最后尋求一般規律。故不妨作如下分析：

所以P2013的橫坐標為 +2012= ，即P2013的坐標為（ ， ）。

通過上面“由特殊到一般”的合情推理，我們可以知道Pn的坐標為（ ， ）。

三、恰當地應用合情推理，盡可能避免不必要的分類討論

“分類討論”是一種重要的數學思想，許多問題都離不開分類討論。但是有些問題若能認真分析，通過恰當的合情推理，變換思維角度，往往可以避免分類討論，使問題的解決更為簡捷。

例：如圖4，在Rt△ABC中∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b是方程x2-10x+18=0的兩個根，P是AB斜邊上一點，過P作BC、AC的平行線，分別交AC、BC于D、E兩點。設AP=x，矩形CDPE的面積為S，試用含x的代數式表示S。

很多學生會根據方程x2-10x+18=0求出兩個根，然后分a=5+ ，b=5- 或a=5- ，b=5+ 兩種情況作分類討論，從而給解題帶來了相當大的麻煩，做完后發現，兩種情況的結果是一樣的，這就值得我們進行反思。

事實上，我們作一點合情推理，S=PD·PE，由△APD∽△ABC，△PBE∽△ABC容易得到PD= ，PE= ，所以S= 。根據題意ab=18，因此，只要求出c，問題就解決了。a+b=10，a2+2ab+b2=100，將ab=18代入得a2+b2=64，c=8，所以S= = =- x2+ x。像這種可以整體處理的問題，不必做分類討論，而解決問題的關鍵是利用合情推理進行分析。

四、恰當地應用合情推理，進行合理的估算，優化解題過程

對于一道數學題，由于審視的角度不同，往往會得到多種不同的解法。平時的教學中，教師常常會引導學生通過聯想、類比、遷移獲得多種解法。事實上，有些數學問題，如果恰當地應用一些合情推理，進行合理的、簡單的估算，那么，解題過程就會優化。

例：如圖5，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動。在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）。試問：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

由于無法判斷AD、FC、BC的大小，常規解法是分AD為斜邊、FC為斜邊、BC為斜邊三種情況進行分類討論。但是，我們細致分析，發現BC不能為斜邊，因此解答過程可以優化。

在Rt△ABC中易知AC=2BC=12，若設AD=x（0DC，AD+FC>AD+DC=12，所以，AD、FC中至少有一條線段的長度大于6，所以BC不能為斜邊。若FC為斜邊時，x2+62=（12-x）2+42，解得x= ；若AD為斜邊時，62+（12-x）2+42=x2，解得x= >8（不合題意，舍去）。所以，當AD的長為 時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形。

合情推理能力的形成與發展是一個漸行漸近的過程，教師不能急于求成，要根據學科特點和學生實際，善于抓住時機，因勢利導，努力把握合情推理與演繹推理的結合點，在潛移默化中培養和訓練學生的合情推理能力。同時，要幫助學生努力抓好“四基”，完善學生的知識網絡、認知結構，著力培養學生的思維品質和個性品質；還要努力營造和諧的氛圍，激發學生主動參與的興趣，給學生創設主動參與的條件，為學生合情推理能力的形成與發展奠定基礎。當然，在合情推理能力的培養過程中，也不能忽視演繹推理的重要性，更不能以合情推理來代替數學證明、解答，應將合情推理與演繹推理結合起來，視合情推理為演繹推理的前奏、演繹推理為合情推理的升華，這樣才能優化學生的思維品質，全面提升學生的推理能力。

【參考文獻】

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（作者單位：江蘇省張家港市教育局教研室）