一元二次方程根的判別式在初中數學解題中的應用

摘 要：在初中數學中，一元二次方程根的判別式可用于判斷一元二次方程是否有實數根以及實數根的個數，是一元二次方程中非常重要的概念。事實上，判別式在初中數學中的應用場景非常廣泛，是解答初中數學問題的重要工具和橋梁。基于此，文章立足初中數學教學實踐，依托相關習題，展示判別式在探尋數量關系、求代數值、求參數范圍和求參數最值方面的應用，以此提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養。

關鍵詞：一元二次方程；判別式；解題；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0011-03

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），b2-4ac叫做此一元二次方程根的判別式，通常用“Δ”表示。通過比較判別式的值與0的大小關系，可以確定一元二次方程是否有實數根以及有幾個實數根[1]。判別式的值與0的大小關系有大于、小于和等于三種情況，這是解答初中數學習題的重要隱含條件。在初中數學教學中，為使學生充分認識判別式在解題中的應用價值，掌握相關的解題思路，教師應注重判別式在解題中的應用，提高學生運用這一隱含條件的意識及應用能力，以此提升學生的解題能力。

1 利用判別式探尋參數關系

在初中數學中，探尋參數關系的一般思路是作差、作商構建新的數學式，通過比較與0或1的關系而得出對應的結論[2]。但是對于部分綜合性較強的習題，涉及一元二次方程與平面幾何圖形知識，探尋參數關系具有一定的復雜性，需要先運用幾何知識推理證明，理順角度、線段等之間的邏輯關系和數量關系，將得到的關系作為一元二次方程的輔助條件，而后以判別式為依托進行判斷。在教學過程中，教師應引導學生把握運用判別式探尋參數關系的關鍵點，立足一元二次方程根的情況，構建與判別式有關的不等或相等關系，得出最終結果。

例1 如圖1，在四邊形ACBD中，BC=a，AC=b，AB=c，且關于x的方程（a+c）x2+2bx+c=a有兩個相等的實根。若CD平分∠ACB，AD⊥BD，AD與BC為方程x2-2mx+n2=0的兩根，探究m和n的數量關系，并說明理由。

解析 本題是一道一元二次方程與平面幾何融合的綜合性問題，考查的知識點較多，主要包括一元二次方程、勾股定理、圓的性質等知識。解答該題的關鍵在于先運用判別式判斷△ABC的形狀，得出A，B，C，D四點共圓，然后借助圓的性質得出AD=BC，而后再次運用判別式計算、分析得出結果。

因為關于x的方程（a+c）x2+2bx+c=a有兩個相等的實根，所以Δ=（2b）2-4（a+c）（c-a）=4b2+4（a2-c2）=0，化簡可得a2+b2=c2。由勾股定理逆定理可知△ACB為直角三角形，其中∠ACB=90°。

因為AD⊥BD，所以∠ADB=90°，即∠ACB+∠ADB=180°，則A，B，C，D四點共圓。又因為CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD，所以AD=BD，即方程x2-2mx+n2=0有兩相等實根，所以Δ=（2m）2-4n2=4m2-4n2=0，即m2=n2。由AD+BD=2mgt;0，mgt;0，則n≠0。當ngt;0時，m=n；當nlt;0時，m=-n。

2 利用判別式求代數式的值

代數式求值是初中數學中較為常見的問題，主要考查整式及分式的相關運算、整體代入思想等[3]。代數式求值問題靈活多樣，有些問題命題角度較為新穎，雖然都是代數式求值問題，但是其所給的已知條件較為抽象，技巧性較強，采用常規方法往往難以找到突破口。針對這樣的問題，需要結合題干進行轉化，而后構造一元二次方程，運用判別式挖掘參數之間的內在關系，通過討論、計算，求出最終的值。在教學過程中，教師應注重根據習題的難易程度，為學生詳細展示解題過程，給學生留下深刻印象，加深學生對所學知識的理解。

例2 已知a，b為正整數，且滿足a+ba2+ab+b2

=449，則a+b的值為（" ）。

A。10"" B。12""" C。14""" D。16

解析 本題所給已知條件較少，比較抽象，對學生而言難度較大。解題時需要根據題干已知條件引入正整數k，借助題干中的等式構建a、b之間的關系，通過轉化得出a+b、ab的表達式并構造一元二次方程，結合一元二次方程有兩個正整數解的條件，利用判別式求出k的取值范圍，并逐一驗證滿足條件的k的值，從而得出結果。

由a+ba2+ab+b2=449變形得到49（a+b）=4（a2+ab+b2）。因為a，b為正整數，則存在正整數k滿足a+b=4k，a2+ab+b2=49k，即（a+b）2-ab=49k，ab=（a+b）2-49k=16k2-49k。設關于x的方程x2

-4kx+（16k2-49k）=0有兩個正整數解，則Δ=16k2-4（16k2-49k）≥0，解得0≤k≤4912。由于k為正整數，則k可取1，2，3，4，其中當k分別為1，2，3時，方程x2-4kx+（16k2-49k）=0無正整數根。當k=4時，方程x2-4kx+（16k2-49k）=0為x2-16x+60=0，解得x1=10，x2=6，則a+b=4k=4×4=16，選擇D。

3 利用判別式求參數范圍

與參數范圍有關的問題是初中數學常見問題之一，其考查的知識點較多，解題思路靈活多樣。在解決與二次函數有關的參數范圍問題時，一般需根據題意，利用數形結合思想尋找參數之間的不等關系，然后通過解不等式解決問題。當題干中涉及一元二次方程根與系數之間的關系時，應結合圖象對題干條件進行等價轉化，借助判別式構建不等關系，以此求得最終的結果。此種解題思路不太常見，在教學過程中，教師應注重解題引導，對關鍵環節給予必要的指導和點撥，使學生真正理解。

例3 如圖2，已知拋物線y=-x2+4x+5與x軸正半軸，y軸分別交于A、B兩點，直線l在x軸上方并與x軸平行，與拋物線分別交于E（x1，y1），F（x2，y2），與直線AB交于點P（x3，y3），若整數m滿足等式m（x1+x2）=x3，則m的取值范圍是。

解析 本題考查的知識點較多，綜合性較強，難度較大。在求解過程中，需要根據題意畫出函數圖象，明確函數、直線之間的大致位置關系，構建對應的方程，并運用已知條件進行等價轉化，以判別式為橋梁，求出m的取值范圍。

根據題意，令-x2+4x+5=0，解得x1=-1，x2=5，則A（5，0）。令x=0，則y=5，B（0，5）。設直線AB的方程為y=kx+b，將A、B兩點坐標代入得到5k+b=0，b=5，解得k=-1，b=5。從而可知直線AB的方程為y=-x+5。設直線l的方程為y=n（ngt;0），根據題意可得y3=-x3+5=n，則x3=5-n。聯立方程組y=-x2+4x+5，y=n，從而x2-4x+n-5=0，Δ=（-4）2-4（n-5）=36-4ngt;0，從而可得nlt;9。又因為x1+x2=4，m（x1+x2）=x3，所以4m=5-n，n=5-4m。由0lt;nlt;9可得0lt;5-4mlt;9，解得-1lt;mlt;54。

4 利用判別式求參數最值

與參數有關的最值問題在初中數學中出現的頻率較高，解題中常用的知識點有二次函數、三角形三邊之間的關系及其他平面幾何圖形的性質，解題思路分為代數和幾何兩種思路。其中代數思路主要通過點坐標、數的運算將要求的參數轉化成代數式，利用代數式的特點確定最值；幾何思路需要結合平面幾何圖形，通過分析、推理出點或者線段的特殊關系，求出對應參數的最值[4]。當然，部分問題可能需要將兩種思路結合起來。

例4 已知二次函數y=x2-a（agt;0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），平面上有任意點P，若滿足PA=2PB，則△PAB面積的最大值為（用含有a的代數式表示）。

解析 從已知條件來看，此題創設的情境并不復雜，是二次函數與三角形相結合的問題。在解題過程中，可以畫出對應的圖形，設出點P的坐標，借助“PA=2PB”確定點P坐標滿足的條件。同時，利用勾股定理表示出三角形的面積代數式，結合點P坐標滿足的條件，可計算出三角形面積的最大值。

如圖3，設點P（m，n）。令x2-a=0，解得x=±a，所以A（-a，0），B（a，0），AB=2a。過點P向x軸作垂線，垂足為點M，則M（m，0）。由勾股定理可得PA2=PM2+AM2=n2+（m+a）2，PB2=PM2+BM2=n2+（a-m）2。由PA=2PB，則PA2=4PB2，所以n2+（m+a）2=4［n2+（a-m）2］，展開得m2+2am+a+n2=4m2-8am+4a+4n2，整理得3m2-10am+3a+3n2=0，此一元二次方程有實根，則△=（-10a）2-4×3（3a+3n2）≥0，整理得16a

-9n2≥0，則-4a3≤n≤4a3，即0≤n≤4a3。又由S△ABP=12AB·|n|=a·|n|，當|n|最大時S△ABP最大，則其最大值為S△ABP=a·4a3=43a。

5 結束語

判別式是一元二次方程的重要知識點，是解答初中數學問題的重要工具。在初中數學教學中，為使學生能夠靈活利用判別式解答相關問題，教師應要求學生牢記判別式的計算公式，明確判別式表示的代數意義和幾何意義。同時，為提高學生利用判別式解決問題的能力，教師還應多為學生展示判別式不同的應用情形，讓學生從中體會應用方法，積累應用經驗與技能，不斷提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升其數學核心素養。

參考文獻：［1］ 李德江。根的判別式應用中應注意的幾個問題[J]。數理天地（初中版），2024（1）：2-3。

[2] 王小學，王書麗。巧用判別式求解代數式的最值問題[J]。初中數學教與學，2021（7）：41。

[3] 蘇如祥。妙用判別式，巧解數學題[J]。語數外學習（初中版），2020（11）：19-20。

[4] 張田田。根的判別式在解題中的應用[J]。初中生世界，2020（35）：47-49。

［責任編輯：李慧嬌］