依托“導主部分”，解決函數單調性問題

1 導主二次型

例1設函數 其中 a 為常數，討論函數 f（x） 的單調性.

分析策略本題難度適中.首先確定函數的定義域為 （0，+∞） ，接著討論函數的單調性，將 f（x） 求導"ax2+（2a+2）x+a，此時不能因式分解.由于分母項恒為正，現只需考慮分子部分的正負即可.顯然，可以0為分界點進行討論：當 a?0 ，此時f^′（x）gt;0 ；當 alt;0 時，判別式 Δ=4（2a+1） ，易求得"，繼續進行分類討論.其中，當""時， Δgt;0 ，因此函數 g（x） 有兩個零點，且其開口向下，需要設出 g（x） 的兩根 Φ_x1，x2"，繼續討論.

解題過程 根據對數函數的性質，首先可確定函數 f（x） 的定義域為 （0，+∞） ，對函數求導得，"""再根據函數定義域及導函數分母大于0進行分類討論。

令 g（x）=ax²+（2a+2）x+a，

當 a?0 時，此時 g（x）gt;0 ，因此 f^′（x）gt;0 ，所以f（x） 在 （0，+∞ ）上單調遞增.

當 alt;0 時， Δ=（2a+2）²-4a²=4（2a+1）

由于此時 g（x） 的函數判別式含參數 a ，不易判斷出其與0的大小關系，因此需要進行分類討論，過程如下：

① 當 時，此時 Δ=0 ，由此可判斷f^′（x） 的大小，將 代人 f^′（x） ，得 則函數 f（x） 在 （0，+∞） 上單調遞減.② 當 時，此時 Δlt;0 ，故函數 g（x） 與坐標軸無交點，又二次項系數小于0，有 g（x）lt;0 因此 f^′（x）lt;0 ，故 f（x） 在 （0，+∞） ）上單調遞減.③ 當 時，此時 Δgt;0 ，因此函數g（x） 有兩個零點，且其開口向下，設 x₁，x₂ （其中 x₁2 ）是函數 g（x） 的兩個零點， 當 x∈（0，x₁） 時，有 g（x）lt;0 ，則 f^′（x）lt;0 因此 f（x） 在 （0，x₁） 上單調遞減；

當 x∈（x₁，x₂） 時，有 g（x）gt;0 ，則 f^′（x）gt; 0，因此 f（x） 在 （x₁，x₂） 上單調遞增；

當 時，有 g（x）lt;0 ，則f^′（x）lt;0 ，因此 f（x） 在 （x₂，+∞ ）上單調遞減.綜上，當 a?0 時， f（x） 在 （0，+∞） ）上單調遞增；當 時， f（x） 在 （0，+∞）， ）上單調遞減；當 時， 上單調遞減，0 上單調遞增.

2 導主指對型

例2 已知函數 ，求函數 f（x） 的單調區間.

分析策略由于對數的存在，該函數的定義域為 （0，+∞） .求導后有 ，因為 x 的取值范圍恒為正，因此可分類討論 a?0，a gt;0 的情況.當 a?0 時，有 2x-2agt;0 ，要想判斷導函數的正負，現只需考慮 的正負即可，以1為分界點進行討論即可.而當 agt;0 時，由于 的限制，仍需結合 x=1 這個特殊點進行分類討論，分為01 三種情況，再分別討論單調性便可得出函數 f（x） 的單調區間.

解題過程 根據對數函數的性質，首先可確定函數 f（x） 的定義域為 （0，+∞） ，

對 f（x） 求導得， ，接下來分類討論：

① 當 a?0 時，有 2x-2agt;0

當 xgt;1 時， lnxgt;0 ，因此 f^′（x）gt;0 ，則f（x） 在 （1，+∞ ）上單調遞增；

當 0′（x）lt;0 ，則f（x） 在（0，1）上單調遞減.

② 當 0′（x）gt;0 ，情況一為 有 即 xgt;1 ，情況二為 有 即 0′（x）lt;0 ，此時需 a（0，a） ， （1，+∞ ）上單調遞增，在（a，1） 上單調遞減.（204號 ③ 當 a=1 時，此時 （204號恒成立，因此 f（x） 在 （0，+∞ ）上單調遞增.（204號 ④ 當 agt;1 時，若 f^′（x）gt;0 ，則需滿足 0a ：若 f^′（x）lt;0 ，此時 1（1，a） 上單調遞減.綜上，當 a?0 時， f（x） 在 （1，+∞ ）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減;當 01 時， f（x） 在（0，1）， （a，+∞ ）上單調遞增，在 （1，a） 上單調遞減.

3結語

關于含參函數單調性問題的考查，通常需要學生細心思考，設法做到精準的分類討論.尋找能夠引起導函數符號變化的特殊點，如使導函數為零的點或是導數某部分發生符號變化的點等.因此，要求學生在日常練習中，多多積累，加深對各類函數的認識與了解，促進數學學科思維能力的提升與數學學科素養的養成.