對2025年新高考I卷第19題的推廣研究

題目（2025年新高考1卷第19題）設函數f（x）= 5cosx-cos5x.

（1）求 f（x） 在 的最大值;（2）給定 θ∈（0，π），a 為給定實數，證明：存在y∈[a-θ，a+θ^] ，使得 cosy?cosθ ：

（3）若存在 φ ，使得對任意實數 x ，都有5cosx-cos（5x+φ）?b ，求 b 的最小值.

解析 ，令 f^′（x） ε=0 ，解得 或 ，其中k∈Z（下同）.因為 ，所以 由函數 y=sin5x 與 圖象可知，當 時 I^′（x）≥0 ，當 時 I^′（x）?0 ，所以 f（x） 在 的最大值為

（2）假設任意 y∈[a-θ，a+θ] ，使得cosy gt;cosθ

因為cosy gt;cosθ，θ∈（0，π） ，所以 y∈ （?-θ+2kπ，θ+2kπ） ，所以 [a-θ，a+θ]? （?-θ+2kπ，θ+2kπ） ，解得 2kπ

（3）令 ，不妨設 φ ，由題意得 b?g（x）_max

當 φ=0 時， g（x）=f（x） ，由（1）可知當 x∈ （204號 時 當 時， +1lt;3√3，由g（x）周期性與奇偶性可知 g（x） 在 R 上的最大值為

當 φ∈（0，2π） 時，令 x+5x+φ=π ，解得 x= 且 ，此時 g（x）=6cosxgt;6cos ，所以

綜上， b 的最小值為

該題主要考查含參的三角函數最值問題，在2018年新課標1卷中有如下的填空題：已知函數f（x）=2sinx+sin2x ，則 f（x） 的最小值是

進一步，若我們把題目第（3）小題中的條件5cosx-cos（5x+φ）?b 一般化，可得下結論.

結論 已知 n 是給定的大于1的正整數，若存

在 φ ，使得對任意實數 x，ncosx-cos（nx+φ）≤b ，則

b 的最小值為 （204號

證明設 h（x）=ncosx-cos（nx+φ） ，不妨設 （2 φ∈[0，2π） ，由題意得 b?h（x）_max

（1）當 φ=0 時 h（x）=ncosx-cosnx ，設 x∈ ^[0，π] 因為 ，令 h^′（x）= （204號0，則得 或 ，其中 k∈Z （下同）.不難發現方程 h^′（x）=0 相鄰兩根之間 h^′（x） 同號，所以 h（x） 在 或 處取得最大值.

因為方程 h^′（x）=0 最小的正根為 0由函數 y=sinnx 與 y=sinx 圖象可知，當 x∈ 時 h^′（x）?0 ，所以 （20 當 = 且 nx=x+2kπ 時， 當 x∈ （+1]且mx +x = （2k+1）π時，h（x） = n+1由h（x）周期性與奇偶性可知 h（x） 在 R 上的最大值為

（2）當 φ∈（0，2π） 時，令 x+nx+φ=π ，解得 Π-φ，且χ∈（ ，此時h（x）=ncosx-cos（Ω_nx+φ）=（Ω_n+1）cosxΓgt; （204號 ，所以

綜上， b 的最小值為

教師平時在解題教學上可以多使用往年高考真題，引導學生逐步培養逆向思維、一般化、類比探究能力開拓思路，從而提高解決復雜問題的能力，提升學生的數學素養.