1應用構造函數法解三角函數真題

例1 （2022年全國甲卷數學（理）·第12題）已知 則（ ）

(C)a>b>c.(D)a>c>b.

思路分析 b 與 Ψ_c 的大小利用三角函數放縮很容易判斷；若比較 a 與 b ，則需要構建函數，利用其單調性進行比大小.

解析 利用三角函數可知，當 時，tanx>x ，所以 即 所以 可得 b 與 Ψ_c 的大小關系，即 c> ，不妨構造函數 -1(0′

(x)=x-sinx .令 g(x)=x -sinx(0′(x)=1-cosx ，不難發現 g^′(x) 在(0，1）上恒大于0，所以 g(x) 在(0，1)上單調遞增，即 g(x)>g(0)=0. 所以 f^′(x)>0 ，故f(x) 在(O，1)上單調遞增，所以 0，即 ，得到 b-a>0，b>a .綜上 c>b>a .故選(A).

評析 本例題較難，需要學生重點熟練掌握三角函數的證明與應用.

2應用構造函數法解不等式真題

例2（2022·浙江卷·第9題)已知 a，b∈R ，若對任意 x∈R，a∣x-b∣+∣x-4∣-∣2x-5∣?0 ，則（ ）

(A)a?1，b?3.(B)a?1，b?3.

思路分析 通過整理條件中的絕對值不等式，得到 a|x-b|?|2x-5|-|x-4| ，從而構建函數 f(x)=a∣x-b∣，g(x)=∣2x-5∣-∣x-4∣， （2再運用數形結合思想，借助函數圖象解答.

解析 由題意可知，對任意 a|x-b|?|2x-5|-|x-4| .不妨設 f(x)=

a|x-b|，g(x)=|2x-5|-|x-4| ，去絕對值

后 在同一個平面直

角坐標系中作出函數 f(x) 與 g(x) 的圖象，如圖1

所示.結合絕對值圖象的性質，要想使 a∣x-b∣?

∣2x-5∣-∣x-4∣ 恒成立， f(x) 的圖象必在

g(x) 圖象的上方，即必有 故，

選(D).

評析本例題考查不等式恒成立問題，采用構建函數法解答可以有效提高解題效率.

3應用構造函數法解導數真題

例3（2021年新高考數學 I 卷·第22題)已知函數 f(x)=x(1-lnx) ：

（1）討論 f(x) 的單調性；

（2）設 a_λ，b 為兩個不相等的整數，且 .證明：

思路分析第一小問，求出導函數，再結合符號即可確定函數單調性.第二小問，先利用對稱差函數分析，再構造函數分別證明左右兩側不等式成立.

解析 0 Φ_:x>0Φ_: ），所以當 x∈Γ(0，1) 時， ??f^′(x)>0 f(x) 單調遞增；當 x∈(1，+∞) ）， f^′(x)<0 4f(x) 單調遞減.綜上， f(x) 在(0，1）上單調遞增，在 (1，+∞) 單調遞減.

(2)由 ，得 J 因為 a≠b ，所以

由(1)知， f(x) 在(0，1)上單調遞增，在 (1，+∞) 單調遞減，且 令 x₁ x1b ，設 x₁2

，則 01<12′(x)=f^′(2-x)- .當 x∈ (0，1）時， g^′(x)<0 ，則 g(x) 在(0，1）上單調遞減，所以 g(x₁)>g(1)=0 ，即 f(2-x₁)-f(x₁)>0 f(2-x₁)>f(x₁) ，又因為 f(x) 在 (1，+∞) 單調遞減，所以 x₂>2-x₁ ，即 x₁+x₂>2

再證明 x₁+x₂ ，再令 ，則 <0 ，所以 φ(x) 在(O，e)上單調遞減，即 φ(x)> φ(e)=0 ，即 h^′(x)>0，h(x) 在 (0，e) 上單調遞增.因為 01

<12 即 ；又因為 f(x₁)= f(x₂) ，所以 即 x₂²-ex₂= x₁²-ex₁ ，得 (x₁-x₂) ） (x₁+x₂-e)>0 ；又因為01<121+x₂

綜上，

評析本例題為高考壓軸題，難度較大，解答 時后面加構造函數要靈活變通.

4結語

總而言之，掌握構造函數法的基本技巧和題型，可以有效把握解題方向，提高高考解題效率和速率.