《數學通報》問題2688的深度剖析與拓展

1 問題呈現與求解

題目 已知在 ΔABC 中，試證明

證法1（三角函數恒等變換與均值不等式）令x=cosC ，由三角函數的相關公式可得 sin²A+sin²B

因為 -1?cos（A-B）?1 ，當 此時cos（A-B）=1 能取到）時，原式取得最大值為2- ，故

證法2（向量法）設向量 Ψ=（sinB，sinC） ， .則 sin²A+sin²B+ +sinA）²]-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA） .又由于 ?（sinA+sinB）²+（sinB+sinC）²+（sinC+sinA）² 1?2（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA） ，并且在 ΔABC 中，利用三角函數的和差化積以及三角形內角和關系可證得 所以

證法3（坐標法）以 ΔABC 的外接圓為單位圓，圓心為坐標原點 o 設 A（cosα，sinα） . B（cosβ sinβ ）， C（cosγ，sinγ） ，且 α+β+γ=2kπ（k∈Z ，在三角形中 k=1 .則 sin²A+sin²B+sin²C=sin²α+ （20sin²β+sin²γ. ，根據三角函數的平方關系及兩角和差公式化簡得 cos2β+cos2γ， ）

再利用和差化積公式及 α+β+γ=2π 化簡可得 即 sin²A+sin²B+ （204號

證法4（琴生不等式）令 ，易得f（x） 在 ^（0，π） 上是凸函數.故由琴生不等式有 f（A） +f（B） +f（C）≤3f（A+B+）.因為A +B+C =π

證法5 （三角形面積公式）由三角形面積公式得 則 sin²A+sin²B /（ 再利用海倫公式（202 其中 α+b+），三角形三邊關系及均值不等式可證明

證法6（利用三角形外接圓半徑性質）設ΔABC 的外接圓半徑為 R ，由正弦定理可得 2R則 sin2A + sin2B + sin2C 根據三角形的外接圓性質，三角形三邊關系及均值不等式 a²+b²+c²?9R² ，可得 1

2 結論加強

基于上述證明過程，對原不等式進行加強，得

到如下結論：

結論 在 ΔABC 中，有 sin²A+sin²B+sin²C?

證明 由證法1可知 sin²A+sin²B+sin²C=

原不等式右邊 .因為 -3? cos2A+cos2B+cos2C?3 ，所以 cos2B+cos2C）?0 ，即 .不等式得證.

3推廣探究

推廣（推廣到 n 個角的情形）若 n 個角 A₁ A₂，…，A_n ，滿足 A₁+A₂+…+A_n=π ，則 （2

證明 當 n=3 時，不等式已證.

當 ngt;3 時，利用數學歸納法，假設當 時不等式成立，即對于 A₁+A₂+…+A_k=π ，有

當 n=k+1 時，令 B=A₁+A₂+…+A_k ，則 B 思路， ，所以 ，推廣成立.

4變式探究

變式1（改變三角函數名稱）在 ΔABC 中， （204號

證明 因為 ，且 sin²A+sin²B+sin²C 則 4，移項 可得 又因為 cos²A+α ，將 代人可得 cos²A+ （20

變式2（增加根式）在 ΔABC 中，有

證明 由柯西不等式 ?（1+1+1）（a₁+a₂+a₃）. 令 a₁=sin²A+sin²B a₂=sin²B+sin²C，a₃=sin²C+sin²A 則（20 + ）

因為 所以

則 +

變式3 （分式結構的變式）在 ΔABC 中，有

證明 因為 且 sin²C ，所以 （204號

變式4（三角函數與指數結合的變式）在ΔABC 中，有

證明 因為函數 y= 2^x 是單調遞增函數，且 所以 ，當且僅當 時取等號.