發揮習題功能 理解向量方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0061-04引用格式：.發揮習題功能理解向量方法：[J].中國數學教育（高中版），2025（6）：61-64.

一、問題提出

向量具有深刻的數學內涵和豐富的物理背景，是代數與幾何共同的研究對象，它搭建了溝通幾何與代數的橋梁.向量運算的幾何意義提供了認識幾何圖形和理解幾何性質的新視角，也帶來了解決幾何問題的方法，即向量方法.人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第二冊把向量方法的思維過程歸結為三個步驟：用向量表示幾何元素，實現對幾何問題的向量化；通過向量的運算實現對問題的解決；將向量運算的結果還原成幾何關系．可見，向量方法是一種問題解決策略，是內隱于向量概念和運算體系內的、使向量理論體系得以創生的思維策略，是體現向量價值旨趣、凝聚人類理性精神的大觀念.策略性知識的主要功能是提高問題解決的能力．因此，學生對向量方法的理解和掌握，對于提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象等素養具有決定性意義，關系著數學學科育人價值能否實現.

習題是教材的有機組成部分，具有消化鞏固新知、拓展延伸新知、綜合運用新知、思維能力訓練、思想方法滲透、診斷反饋補救與學科育人等七項功能，因此，對習題的教學不能僅僅追求題目的答案，而要通過對這些功能的發揮培養學生分析問題和解決問題的能力，促進學生數學思維品質的形成和關鍵能力的發展.

本文以一道習題為例，進行平面向量的單元復習教學，具體教學內容如下.

二、教學過程

1.題自溯源，建立向量方法的認知起點

通過向量加法運算法則的學習，我們已經知道，可以用三角形兩條相鄰邊所在的向量來表示三角形的中線.例如，圖1中 ΔOBC 的中線OF可以表示為

圖1

如圖2，如果在中線 oF 上取一點 E ，以點 E 為中點作線段，分別交邊 OB ， oc 于點 A ， D ，那么四邊形ABCD的形狀有什么特殊性？線段 EF 與四邊形ABCD有什么關系？進而，向量 與向量 ， 之間有怎樣的關系？

2.一題多解，理解向量方法的思維特征

圖2

學生容易發現四邊形 ABCD 是梯形，線段 EF 是梯形的中位線．待學生將向量 表示成 后，教師將梯形一般化為任意四邊形，如圖3，待學生觀察、猜測任意四邊形的中位線的向量表示后，教師出示人教A版教材中習題6.2的第15題：如圖3，在任意四邊形 ABCD 中， E ， F 分別是 AD ， BC 的中點，求證 ：

圖3

實際上，學生證明這道題并沒有太大的困難．但是如果直接給出題目，學生可能會因為求解順利而忽視對題目中隱含信息的探索和理解，從而導致習題教學喪失應有的價值．在上述教學設計中，筆者先強化三角形中線的向量表示方法，并以此為認知基點，借助圖形形狀變換將三角形的中線轉化為梯形的中位線，通過問題引導學生借助特殊化思想，發現梯形中位線的向量表示.通過這種教學方式，學生不僅能夠看到四邊形的中位線與三角形的中線之間的邏輯關系，還能自主發現它們雖然名稱各異但卻有一致的向量表示形式，激發了學生探索兩者之間邏輯關系的積極心向，有利于教學的深人開展和對向量方法的理解運用.

如圖4，作向量 ， ，連接 BB₁ CC₁ ， B₁F ， C₁F ·

證法1：平行四邊形法.

圖4

由平面幾何知識，知四邊形 ABB₁E 和四邊形 EC₁CD 是平行四邊形.

則 BB₁//AE//C₁C ， BB₁=AE=C₁C 所以 ∠B₁BF=∠C₁CF 所以 ΔB₁BF?ΔC₁CF ：

所以 ∠BFB₁=∠CFC₁ ，則 B₁ ， F ， C₁ 三點共線.

所以 EF 為 ΔB₁EC₁ 的中線所以 ，即 證法2：轉化為三角形的中線.

如圖5，連接 EB EC ，則在 ΔBEC 中， EF 是邊 BC 的中線，得

圖5

由向量加法的三角形法則，知 ，

因為 ，所以 證法3：向量回路法.

因為 E ， F 分別是 AD ， BC 的中點，所以 ，

在圖3中，由向量回路法，可得 ， ：

將兩式相加，得 證法1基于向量加法的平行四邊形法則“共起點”

的要求，對向量 ， 進行平移，利用點 E 的中點特征構造兩個平行四邊形，再利用點 F 的中點特征及平行關系證得兩個三角形全等，最終轉化為三角形的中線解決問題．雖然運用了向量關系和運算，但遵循的仍然是綜合幾何的思維路徑，只是把其中作輔助線和構造幾何圖形的過程改成了向量的運算和表示．證法2以三角形中線的向量表示為思維起點，連接 ΔEB EC 使EF由梯形的中位線轉變為三角形的中線，又使AB ，CD變成了三角形的邊，便于運用向量加法的三角形法則．可見，證法2在解法上具有模塊化的特征，體現了思維的靈活性．而證法3則充分體現了向量回路法的簡捷性．所謂回路，即向量從一點出發，通過一個封閉的圖形又回到起點的那個通路，對于向量回路法的運用，不僅要選擇合適的回路，即找到一個封閉的圖形，這個圖形包含了要表達的所有向量，還要利用向量的運算和平面向量基本定理將向量分解成共線的形式．向量回路法不需要關注圖形的具體形狀和幾何性質，用向量回路法解題可以脫離具體圖形而直接進行形式化運算．在此題中體現為不必添加任何輔助線，使解題方法十分簡捷.

3.題目變式，助推向量方法的靈活運用

變式1：在四邊形 ABCD 中， AD 與 BC 不平行，E ， F 分別是邊 AD ， BC 上除端點外的一點，且滿足 ，求證： E ， F 分別是 AD ，BC的中點.

證明：因為 E ， F 分別是邊 AD ， BC 上除端點外的一點，

所以 ， ，其中 λlt;0，μlt;0

在圖3中，由向量回路法，得

兩式相加，得

對比已知條件，得 因為 AD 與 BC 不平行，所以非零向量 ， 不共線.

由平面向量基本定理知，要使 . ，只有 1+λ=0 且 1+μ=0 ：

所以 E ， F 分別是 AD ， BC 的中點.

變式2：如圖6，在任意四邊形 ABCD 中， AB= DC， E ， F 分別是 AD ， BC 的中點，延長 BA ， CD ，分別交 FE 的延長線于點 G ， H ，求證： ∠AGE=∠DHE ：

圖6

證法1：平面幾何法.

如圖7，過點 E 分別作 EB₁//AB ，且 EB₁=AB ，EC₁//DC ，且 EC₁=DC ，連接 BB₁ ， CC₁ ， B₁F ， C₁F

圖7

由例題的證法1，可知 EF 為 ΔB₁EC₁ 的中線.因為 AB=DC ，所以 EB₁=EC₁ ，即 ΔB₁EC₁ 為等腰三角形.所以 EF 為等腰 ΔB₁EC₁ 底邊上的中線.所以 ∠B₁EF=∠C₁EF ：因為 EB₁//AB ， EC₁//DC ，所以 ∠B₁EF=∠AGE ， ∠C₁EF=∠DHE ：所以 ∠AGE=∠DHE ：注意到要證的 ∠AGE ， ∠DHE 分別是 AB ， DC 與EF 相交形成的角，故可以將它們分別看作向量 ， 與 的夾角，利用向量的夾角公式進行計算，得到證法2.

證法2：向量方法.

由例題的結論，知

所以

由 AB=DC ，得

所以

所以 cos∠AGE=cos∠DHE 因為 ∠AGE ， ∠DHE 都在區間[0，]內，所以 ∠AGE=∠DHE ·

變式1以四邊形中位線及其向量表示兩者之間的等價關系為載體，引導學生逆向運用平面向量基本定理．在此過程中，強化學生對平面向量基本定理的理解，尤其是領悟定理中“基”的作用和蘊含其中的數學思想．變式2以證明角的相等為目標，綜合考查學生靈活運用相關知識解決問題的能力，根據題目已知條件中兩條線段的中點和一對相等的線段，學生可以想到構造或轉化為全等三角形的綜合幾何證明法．在實際教學中，受前面例題的證法1的啟示，很多學生能夠快速解決問題，對于證法2，學生很難想到，所以由教師直接給出．學生的困難有二：一是學生理解的角通常離不開具體圖形，不能脫離構成角的幾何要素（如頂點和兩條邊）；二是學生缺乏將角轉化成向量的夾角的意識和經驗，即便學生想到了這種轉化，也會由于第一點的影響而不能選擇合適的向量，例如，對于 ∠AGE ，學生將其看作向量 ， 的夾角，但這兩個向量與題設條件的關系不明，不能解決問題．學生若將其看作向量 ， 的夾角，問題就迎刃而解了，因此，證法2能給學生帶來強烈的思維沖擊，能使他們對角的認知從一個具象的圖形上升為兩個不同方向向量所成的角.

三、教后思考

數學的教與學都離不開解題．數學教育家喬治·波利亞在《數學的發現》中指出：“掌握數學就意味著解題.”習題教學雖然以解題為教學內容，但教學重心不能落在分析題型結構和總結解題方法上，而應該根據教學實際情況，明確教學目標，圍繞教學目標合理選擇題目，設定恰當的教學路線，從而發揮習題教學應有的價值和功能．通過向量單元的學習，學生基本掌握了運用向量方法解決問題的步驟，但他們經常在該用的時候想不起來．因此，作為向量單元復習教學的有機組成部分，本文的習題教學目的是促使學生加深對向量方法的理解，逐步提高學生在解決問題時運用向量方法的自覺性.實際教學中，先對題自溯源，促使學生發現四邊形的中位線與三角形的中線雖然名稱不同、功能各異，但是它們的向量表示在形式和運算上具有一致性．這樣引入教學，能夠激發學生的學習心向，建立理解向量方法的認知起點．在對題目的解答中，通過對解題思路的比較，學生發現圖形特征與向量運算緊密結合是向量回路法的重要特點，從而體會數形結合思想．在最后的變式教學中，通過教師的引導示范，學生能夠感悟向量方法的嚴謹性和靈活性．可見，以上習題教學在提升學生解題能力的同時，具有完善認知結構、發展思維能力和示范引領的價值和功能.

向量方法是解決問題的一種策略，策略的內隱性決定了其獲得的路徑不能是機械記憶和單向傳遞，學生只有在解決問題的過程中獲得了親身體驗，在實踐運用中把體驗轉化成經驗，在認知中總結反思，才能形成策略．因此，對于向量的習題教學，教師應該以促進學生對向量方法的深刻理解和自覺運用為價值指向．在審題時，教師應該從幾何和代數兩個方面引導學生分析題設條件和問題，進行多維度轉化和多樣化表征，以激活知識的多向關聯；在形成解題路徑的過程中，教師不能越俎代庖，更不能急于求成，而是應該通過恰時恰點的啟發性提問，激活學生的元認知能力，讓學生經歷由題目信息自然想到向量方法的完整過程；在解題后，教師要引導學生厘清各種解題路徑的形成過程，比較不同解法的思維入口，逐步形成策略性認知．總之，向量的習題教學不能就題論題，否則學生只能記憶題型、模仿套用，無法理解和運用向量思想方法.

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