一道高三質檢題的多解分析及教學建議

立體幾何是高中數學的重要組成部分，它考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力和數學基礎知識的綜合運用能力.在立體幾何題中，常見題型包括證明空間關系、空間角和空間距離的求法.這些題型不僅涵蓋了立體幾何的基本知識點，還要求學生能夠靈活運用各種解題策略.我們將通過一道具體的立體幾何題，分析多種解題策略，在選擇策略時，我們需要根據題目的具體要求、已知條件和我們的解題偏好進行綜合考慮.同時我們還需要注意靈活運用各種定理和公式來簡化解題過程.我們應該注意到，立體幾何不僅考查了學生的數學知識和解題能力，還考查學生空間想象能力和邏輯推理能力.因而在平時的教學中，教師應該注重培養學生的這些能力，以便更好地應對各種立體幾何題.

1試題呈現及解題路徑分析

在立體幾何中，證明兩條直線垂直的方法有許多，既可以用綜合法，又可以用向量法，還可以將兩種方法結合在一起使用.用綜合法可證明一條直線與另一條直線所在平面垂直，將線線垂直問題轉化成線面垂直問題，如果兩條直線在同一個平面內，還可以通過計算，利用勾股定理逆定理去證明；用向量法證明時又可以細化成基向量法和坐標形式的向量法；對有些問題還可以將向量法與綜合法交替使用.前者要經過嚴格的邏輯推理論證，后者要進行縝密的數學運算.無論采用那種辦法，都要求學生具備一定的數學核心素養，從具體問題中選擇合適的解題路徑，合理提煉出比較簡捷的解題方法.

下面通過對一道試題的分析，給出不同的解題思路，通過一題多解的形式，優化不同的解題路徑，以期為備考學生提供一定的幫助.

1. 1 試題呈現

題目 如圖1，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁ 中 ，A₁B₁=1，AA₁ =2，AB=4，AA₁⊥ 平面 ABC AB₁⊥A₁C，（1） 求證： AB⊥BC ：（2）若 BC=4 ，求直線 A₁C 與平面 B₁AC 所成角的正弦值.

圖1

分析 本題第（1）問是證明空間兩條直線的垂直；第（2）問是求直線與平面所成的角，第（2）問的解法較為常規.下面主要對第（1）問給出不同的解題方法，探尋一題多解在實際教學中的應用.

1. 2 解題路徑分析

1. 2. 1 向量法

空間向量作為高中學習的重要知識點，是解決立體幾何問題的強有力的工具，向量法可分為基向量法和坐標形式的向量法，基向量法就是在空間中選取任何三個不共面向量作為一組基底；坐標形式的向量法就是根據圖形特點建立適當的空間直角坐標系，將幾何問題代數化.用向量法解決問題一般思路：向量表示；向量運算；回歸幾何

證法1選取向量 為基底.如圖1，在三棱臺中，由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得 AA₁⊥BC，AA₁ ⊥AB 又因為 A₁B₁= 1，AA₁= 2，AB= 4 ，所以 又 AB₁⊥A₁C ，所以 （204號所以 ，即 ，故 AB⊥BC

證法2選擇向量 來表示向量 如圖1，由 AA₁⊥ 平面 ABC 得 下面只要證BC⊥AB₁ 即可.又 ，所以 又 AB₁ ⊥A₁C ，所以 在 RtΔA₁B₁A 和 RtΔA₁AB 中 所以 tan∠A₁B₁A× 中tar ι∠B₁A₁B=1 ，又 ∠A₁B₁A 和 于是 ，所以 ，BC⊥AB₁ .又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點 A ，所以 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC

證法3 取向量 為基底表示向量 ，如圖1，令 AC=m，BC=n ，一方面1由 ，得 -4）=m²-3. 又 ，所以 cos∠BAC，m²-3=m²+5-2mcos∠BAC ，所以

另一方面， BC²=AB²+AC²- 2AB×AC× 綜上 n²+16=m² ，即 BC²+AB²=AC² ，故 AB⊥BC

證法4如圖2，以 A 為原點，以直線 ?? 和 AA₁ 分別為 x，y 軸，建立平面直角坐標系，則 ^A（0，0） ，B（4，0） ，A₁（0，2），B₁（1，2）.

所以 =（4，-2）， ，又 ，所以， · ，故 BC⊥AB₁ .由 AA₁ ⊥ 平面 ABC 得 AA₁⊥BC ，且 AA₁ 與 AB₁ 相交于點 A 所以 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ .故 AB⊥BC

圖2

證法5 如圖2，由 ，可知k_BA1?k_B1A=-1 ，所以 又 所以 ，故 BC⊥AB₁ .再由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得： ;AA₁⊥BC ，且 AA₁ 與 AB₁ 相交于點 A ，所以 BC ⊥ 平面 ABB₁A₁ .故 AB⊥BC

1. 2.2 綜合法

綜合法就是借助幾何中的定理和公式進行一定的邏輯推理，證明出題中的結論.可以利用立體幾何中的結論，還可以將立體幾何借助平面幾何進行研究，從而得出要證明的結論.這種方法要求學生具有一定的邏輯推理能力和空間想象能力.

證法6 如圖1，由 AA₁⊥ 平面 ABC 得 AA₁⊥ BC，AA₁⊥AB. 在 RtΔA₁B₁A 和 RtΔA₁AB 中，

A =?，所以 tan∠A，B，A ×tan∠B，A，B = 1， ∠A₁B₁A 和 ，于是 ∠A₁B₁A+ ∠BA，B=，則AB⊥A，B.又因為AB⊥A，C，所 以易得 AB₁⊥ 平面 BA₁C ，則 BC⊥AB₁

再由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得 ，又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點 A ，則 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ .故 AB⊥BC

證法7 如圖 ，在 RtΔA₁B₁A 和 RtΔA₁AB 中 1

圖3

RtΔAA₁B₁～RtΔBAA₁ ，所以 ，又因為 ，所以 ∠A₁AB₁+∠BA₁A ，即AB，⊥A，B，又因為AB，⊥A，C，所以;AB，⊥平面 BA₁C ，則 BC⊥AB₁ ，再由 AA₁⊥ 平面 ABC 可得： AA₁⊥BC ，又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點 A ，則 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC

證法8 如圖 ，且 1AB，由△OA，B，～△OBA得 ，在 4=AA，2，所以△OAA，為直角三角形，則 AB₁⊥A₁B ，又因為 AB₁⊥A₁C ，所以 AB₁⊥ 平面 BA₁C ，則 BC⊥AB₁ ，由 AA₁⊥ 平面ABC 可得 ，又 AA₁ 與 AB₁ 相交于點 A ，則BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC

證法9如圖4，延長 BA 至 c ，使 AC= A₁B₁=1 ，易知四邊形 ACA₁B₁ 為平行四邊

圖4

形，所以 BC=5. 在 ΔA₁BC 中，A₁B²+A₁C²=20+5=25=BC² ，所以 ΔA₁BC 為直角三角形，即 又 AB₁//A₁C ，所以 AB₁ ⊥A₁B. 又因為 AB₁⊥A₁C ，所以 AB₁⊥ 平面 BA₁C ，則BC⊥AB₁ 由 AA₁⊥ 平面 ABC 得 AA₁⊥BC. 又 AA₁ 與AB₁ 相交于點 A ，則 BC⊥ 平面 ABB₁A₁ ，故 AB⊥BC.

2 教學建議

在平時的教學中，我們要重視一題多解，通過一題多解教學活動可以激發學生的學習興趣，充分發揮學生的主觀能動性，因此一題多解在教學中具有重要作用.為此提出如下教學建議：

2.1 注重激發學生求知欲和好奇心

面對同一個問題，學生通過一題多解可以嘗試不同的解題方法，這種發現和探索的過程，能夠增強學生的學習動力，當學生找到多種不同的解題方法時，這種成就感能夠激勵學生繼續努力學習，不斷提升自己的數學水平.

2.2努力培養學生獨特的數學美感

通過一題多解，學生可以更加深人地理解這些圖形和公式的內在規律和聯系，從而培養自己的數學美感，提升學生對數學的興趣和熱愛，激發他們追求數學真理的熱情.

2.3積極增強學生的數學意識

通過一題多解學生可以更加深入地理解數學的概念、原理和方法，從而提升自己的數學素養.這種素養提升在數學學習中具有重要意義.此外一題多解還培養學生的數學應用能力.這種能力不僅有助于學生更好地理解和掌握數學知識，而且能夠提升他們解決實際問題的能力，能夠促進他們的全面發展.在嘗試不同的解題方法時，學生需要綜合運用各種知識和技能，如空間想象能力、邏輯推理能力、創新思維等.

3 結語

由于立體幾何問題的復雜性和多變性，學生在學習過程中往往會遇到許多困難，教師需要采用多樣化的教學手段和不同的解題策略來幫助學生克服這些困難，提高學習效果.通過不斷努力和探索，幫助學生解決學習中的困惑，不斷提高立體幾何解題水平.